EU

Pour démontrer que les deux nombres e et vi sont égaux il faut prouver : 1° qu'ils ont même valeur absolue ; 2° qu'ils ont même signe. |

1° [lS ont même valeur absolue. Désignons, en effet, par E, V,T les valeurs absolues de e, v, t. D'après la règle de trois, puisque dans le temps r, le mobile décrit le chemin V, dans le temps T il décrira T fois plus, ou V XT.

On a donc bien

SAME TRS 1 Ou : FE Sete

2° Ils ont même signe. En effet, si { est positif, le mobile va de A vers B, le sens du segment AB est donc le sens du mouvement ete — AB a même signe que v et, par suite, que vw.

Si test négatif, le mobile va de B vers A. Le sens du segment AB est donc contraire au sens du mouvement e e—AB est de signe contraire au signe de v. Mais, comme é est négatif, vi sera de signe contraire au signe de v et, par suite, sera bien de même signe que e.

La formule (1) est donc bien générale.

Il faut bien se garder de nommer e, dans la formule (1), le segment parcouru par le mobile; car c'est inexact quand test négatif: Lorsque £ est négatif le mobile décrit le segment — e.

98. — Mouvement curviligne. — Nous avons supposé, dans ce qui précède, que le mobile décrivait une ligne droite; mais tout ce que nous avons dit s'applique encore au cas du mouvement curviligne, c’est-à-dire au cas où le mobile décrit un chemin courbe.

On peut, en effet, toujours imaginer qu’on ait rectifié, par la pensée, le chemin et raisonner sur ce chemin comme s’il était rectiligne.

Ou, si l’on veut, on peut toujours choisir sur le chemin un sens positif et compter les segments curvilignes positivement dans ce sens et négativement dans l’autre.

Ainsi, un train qui se déplace sur une voie ferrée ne décrit presque jamais une ligne droite, on peut cependant appliquer tout ce que nous avons dit à la marche de ce train, car il est facile de prendre sur la

voie ferrée un sens positif et de mesurer les espaces parcourus sur cette voie positivement dans ce sens et négativement dans l’autre.

ExempLe. — Un train marche sur la ligne Paris-Lyon-Marseille dans le sens de Paris vers Marseille à 90 kilomètres à l'heure. Il a passé à Lyon à 2" 35", Où était-il à 1° 15"?

Prenons comme unité de temps la minute et comme unité de lonsueur le kilomètre. Choisissons comme sens positif le sens de marche du train. La vitesse du train est :

der. Se

Rp Gen L;0:

L’instant initial est 2° 35" ou 155 minutes.

L’instant final est 1" 15" ou 75 minutes.

L’intervalle de temps £ est donc (n° 89) :

Le segment qui a pour origine Lyon et pour extrémité le point cherché est donc CE 1,0 (— 80) tr 1120.

Le résultat est négatif. Le train était donc, à 1° 15", à 120 kilomètres avant Lyon.

a & ay » À’ - PA +

Ve a

99. — Calcul du temps. — Puisque e est égal au produit de v par f, on en conclut que f est le quotient de e par v. On a donc:

zNETS

formule qui permet de calculer { connaissant e et v.

Exempce. — Un train, allant de Paris à Marseille par Lyon, a passé à Lyon à midi. À quelle heure élait-il à Dijon, qui est à 198 kilomètres avant Lyon? La vitesse du train est de 80 kilomètres à l'heure. :

Prenons comme unité de temps l'heure et comme unité de longueur le kilomètre. Choisissons comme sens positif le sens Paris-Marseille.

On à : e——19 v—+ 80.

Donc : L— — —— 2,475:

Le train a donc passé 2",475 avant midi à Dijon. Or, o",475 valent 28",50 ou 2830.

Le train a donc passé à Dijon à 2° 29° 30° avant midi, c'est-à-dire à 9" 31" 30° du malin.

100. — Calcul de la vitesse. — Puisque e est le produit de v par £, c’est que v est le quotient de e par {. On a donc :

Ce MU TE (3) formule qui permet de calculer { connaissant e et v. ExemPLe : De Paris à Dijon il y a 315 kilomètres. Un train se

trouvait à Paris à 6" 38" du malin et à Dijon à 1° 59" du malin. Quelle était sa vitesse el son sens de marche ?

Prenons pour sens positif le sens de Paris vers Dijon. On à alors : e—= +315,

en prenant comme unité de longueur le kilomètre. SE Si on prend comme unité de temps la minute, l'instant initial est + 398 et l'instant final + 119. L’intervalle de temps £ est donc :

on a donc :

ON Te

La vitesse est donc de 18,129 à la minule el, comme v est négalif, le sens de marche est de Dijon vers Paris. La vitesse en kilomètres à l'heure est :

1,129 X 60 — 67,740 à l'heure.

101. — Équation du mouvement uniforme. — La formule. du mouvement uniforme se met souvent sous une autre forme qu'on appelle équation du mouvement uniforme.

A cet effet, prenons sur la droite que décrit le mobile (fig. 11) un sens positif et une origine O des abscisses.

Soit M, la position du mobile à un instant {, que nous nommerons instant initial et x, l’abscisse OM, de M4.

Mo Ô M

Fig. 11.

Soit M la position du mobile à un instant quelconque t et x l’abscisse OM de M. Proposons-nous de calculer æ connaissant {. La position initiale du mobile est M,, sa position finale M: d’après la formule (1) du mouvement uniforme, MM est égal au produit de la vitesse v par l’intervalle de temps qui va de l'instant initial à l'instant final.

Or cet intervalle de temps est (n° 89) 4 —{,, et on a :

. be=MM—=x— On en conclut :

TX — Lo —=V(t— to). (4) Cœur sécril:

LC — Lo + 0 (E— bo). (5)

C’est là ce qu’on appelle l'équation du mouvement uniforme.

Dans cette équation, x, v et &, sont trois données, trois quantités fixes, ce qu'on appelle des constantes.

co ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE.

Au contraire æ et { sont des quantités qui varient à chaque instant, ce qu'on appelle des variables.

La formule ou équation (5) permet alors dé calculer l’'abscisse æ du mobile connaissant f; c’est-à-dire de déterminer, à chaque instant, la position du mobile sur la droite qu’il parcourt.

102. — Mouvement curviligne. — La remarque que nous avons faite au n° 98 s'applique encore ici.

La formule (5) que nous avons établie pour un chemin rectiligne s'applique, sans modification, à un chemin curviligne, car on peut toujours prendre sur ce chemin un point fixe comme origine, choisir un sens positif et compter les distances, à partir de l’origine choisie positivement dans le premier sens et négativement dans le second.

Exeupre. — Un train part de Paris pour Nancy à midi 35 et marche à la vitesse de 66 kilomètres à l'heure. En supposant qu'il marche sans arrê!s, former son équation de marche.

Prenons comme sens positif le sens Paris-Nancy; comme unités le kilomètre et la minute.

On à : PERLE

Car le train fait 1,1 à la minute.

L'origine des abscisses étant Paris, on a :

4, = + 35 Een LAN L'équation (5) donne alors :

à quelles distances de Paris sera le train à 2"26, 3"3r, 4"15, 5'a5, 5567?

Il suffit de faire successivement

Éd

pour .2"26, «{=— 146% ét on a" Nr = T2

SI, rail — L == TOP ne AT VU Lea — L=S488 — 525; 13935 — T9 10 — 556, {—356 — L— 004

Comme Nancy est à 353 kilomètres de Paris, il est donc arrivé à Nancy à 5"56".

103. — Calcul de l'instant. — Puisque, d'après la formule (4), æ — *, est le produit de v par {— 4, c’est que it — t, est le quotient de & — +, par v. On a donc : © — Lo 2 — 0

ou it ’ o + ”

t— lo — (6)

Cette formule permet de calculer à quel instant t, le mobile se trouve en un point donné d'abscisse æ.

Exempze. — Le départ de la première étape de la course de voitures automobiles Paris-Madrid a eu lieu à Versailles le 24 mai 1903. La première voilure est partie à 3"30" du matin el a marché à la vitesse de 105 kilomètres à l'heure. Quelles auraient été les heures de passage de la voiture aux lieux ci-après si elle n'avait pas eu d'arrêts.

Versailles (départ). . . SR Chatel CR Nes SEE Rambouillet … . . . . 26,5 POP LS PU SA TS TO RS dt 5, 7A HTML. rx Repos GRALANAUN 0... . - I10 ANBULIODE SUR. SA M6 NON AM. D... 158 PIDOUPRE EN EN R ER AE UN . 210 Bordeaux (arrivée). . . 552

Prenons pour sens positif le sens Paris-Bordeaux ;

Pour origine des abscisses Le départ (Versailles) ;

Pour origine des temps minuit de la nuit du 23 au 24 mai 1903; pour unités le kilomètre et la minute. On à alors :

he ue dc FPE k AO, QU Go ET, 7 On a donc: L= 210 +210 + & X 0,571.

Il nous suffit alors de faire dans cette formule successivement : DO TT "71 NC.

On a ainsi le tableau suivant :

| U HEURES DE PASSAGE OM Un, 2, 0! l aab;r4 dt 0!

A LL. }: la 25a,28 A arr DR UONN ES nn + | 278 AO!

RE. JON 360,28 TO RP A, En © ALT DR CRUE HART RU D 0. t5.1".373,98 ACL ET 0. 41.1." 300,56 6" 30" 34° LIT AT ORNE .| 428,85 HT O UE ER di coute 12h" 453.42 Frs À ee Le PO td) 47, br4,13 8" 31e 8:

RADAR IUFTIUée) un 0 le 625,41: RTE

à A. — Détermination de la position d’un point sur une droite par le rapport de ses distances à deux points fixes de cette droite.

104. — Préliminaires. — Considérons une droite indéfinie et deux points fixes A et B (fig. 12) sur cette droite. Supposons d'abord qu'on ait choisi sur la droite un sens

positif et considérons le quotient des mesures algé-

Fig. 12

briques des segments BM et AM que nous représentons par y: Ro

BM AM

Remarquons d’abord que la valeur de y est indépendante du sens positif choisi; car, si on change le sens positif sur la droite, les mesures algébriques des deux segments changent de signe toutes les deux à la fois et le quotient y ne change pas.

Il est donc absolument inutile de dire quel est le sens positif choisi sur AB ; ce sens peut être arbitraire.

Si le point M est entre B et A, ces deux segments BM et AM sont de sens opposés et y est négatif.

Si le point M n'est pas entre B et À, les deux segments BM et AM sont de même sens et y est positif.

Le signe du rapport y indique donc si M est ou non entre B et À.

Remarquons enfin que y n'a pas de sens lorsque M est en À. En effet, dans ce cas, le dénominateur AM est nul et une fraction qui a pour dénominateur zero n’a pas de sens.

Nous examinerons ce cas particulier à part,

Fa LS

105. — Détermination de la position du point. — A tout point M de la droite AB, autre que À, correspond une valeur de y bien déterminée.

Mais réciproquement, étant donnée la valeur de y posi-

tive ou négative, existe-t-il un point M, et un seul, tel que l'on ait

C'est ce que nous allons chercher.

Prenons, à cet effet, sur AB comme sens positif, le sens de A vers Bet le point À comme origine des abscisses.

Soit AM — æ l'abscisse de M, AB — a l'abscisse de B.

On aura (n° 80) BM = AM — AB — x — a; et, par suite, l'égalité (x) s’écrit, dans tous les cas,

Le problème est donc ramené à ceci :

y étant donné, trouver pour quelles valeurs de x l’égalité (2) est vérifiée.

Puisque y est le quotient de æ — a par x,

on a :

T—A—VYyLX donc :