EL
Plus le dénominateur est petit, plus la fraction est grande.
Si on imagine que le dénominateur devienne de plus en plus petit en valeur absolue, se rapproche de plus en plus de la valeur zéro, fende vers zéro, la fraction devient de plus en plus grande et croît sans limite, croît indéfiniment.
Ainsi la fraction . quand x est assez petit, peut deve-
nir plus grande que n'importe quel nombre. Par exemple elle peut devenir plus grande que 1 000 000 000, car il suffit pour cela que æ soit plus petit que
LC À
Si donc nous considérons le rapport quand + est
très petit en valeur absolue, il sera très grand en valeur
absolue.
Prenons AB pour unité de longueur. On a alors a=1.
Le rapport s'écrit
LT DE panne pour — 0,999 —— 0,001, On AY —————=— Œ&—= + 0,001, y Fa 999, æ 0,001, on ay —= —"" + A — — I OOI ur J — 0,001 7 42099,909 XL — DODOODA OM AVE — + o, ; y SÉSS nr 999 999, — 1,000 OO1I D O0000PPOMAUYE ————.— # 1000 001, — 0,000 O01
et ainsi de suite.
On voit que, quand æ est très petit, y est très grand en valeur absolue, soit positif, soit négatif.
On en conclut que, quand M est très voisin de À, y est très grand en valeur absolue,
BOURLET. — ÉLÉM, D'ALGÈBRE, ; 5
RE Lin 66 ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE. FAR Quand M se rapproche du point À, {end vers À, le rapport y CROÎT INDÉFINIMENT en valeur absolue.
On exprime alors ce fait en disant qu'au point À, y est infiniment grand, et on indique cela par le symbole .
107. — Remarque. — L'examen du cas précédent nous a conduit à considérer une fraction dont la valeur absolue croît indéfiniment, c'est-à-dire peut devenir plus grande que n'importe quel nombre arithmétique assignable, si grand qu'il soit.
Or, lorsque cela a lieu, cela peut arriver de deux manières.
La fraction peut être positive, et alors on dit que la fraction croît indéfiniment par valeurs positives, ce qu'on représente par le symbole + % (qui se lit plus l'infini).
Ou bien, la fraction est négative ; on dit alors qu'elle croît indéfiniment par valeurs négatives et on indique cela par le symbole — œ (qui se lit moins l'infini).
Ainsi le rapport y est négatif quand x est très petit et positif, et au contraire y est positif quand x est très petit et négatif. +
Quand æ tend vers zéro par valeurs positives, y croît indéfiniment par valeurs négatives. De
Quand æ tend vers zéro par valeurs négatives, y croît indéfiniment par valeurs positives.
108. — Cas de y —14. — Nous avons trouvé au n° 105 que æ était bien déterminé chaque fois que y était différent de r. Voyons ce qui arrive pour y= 1, On a :
uns On voit que pour y— 1 le dénominateur de æ est égal à
zéro.
Nous avons donc encore ici affaire à une fraction dont le dénominateur devient nul.
Lorsque y prend des valeurs très voisines de la va-
nt
leur 1, 1 — y est, en valeur absolue, très petit, donc x est, en valeur absolue, très grand.
On peut donc dire qu'à des valeurs de y très voisines de 1 correspondent des points de la droite AB qui sont très éloignés.
Lorsque y tend vers 1, se rapproche de la valeur 1,1 —y tend vers zéro, se rapproche de la valeur zéro, et æ croît indéfiniment.
On peut donc dire que:
Quand y tend vers 1, le point M s'éloigne indéfiniment.
On exprime encore cela en disant que, lorsque y — 1, le point M est rejeté à l'infini.
Quand y est plus petit que 1, æ est positif.
Quand y est plus grand que r, æ est négatif.
Le point M s'éloigne donc du côté positif ou du côté
négatif suivant que y tend vers 1 par valeurs plus petites ou plus grandes.
109. — Variation du rapport. — Pour mieux nous rendre compte de la correspondance entre les valeurs du
rapport yet les positions du point M sur la droite AB,
nous allons imaginer que le point M décrive toute la droite AB (fig. 13) dans le sens de A vers B [de gauche à droite sur la figure].
Nous avons vu que l’on a:
RENE na rte Ceci peut s’écrire RPC EL 1% x œ ou, comme — — 1, æ L nez œ
Lorsque le point M décrit la droite dans le sens AB, son abscisse æ va sans cesse en croissant.
a L'PEUS; A Fe va donc sans cesse en diminuant et 1: re ou y va
y plus grand que 1 y négatif y compris entre oet1 QE NAME SCI QE EN RE te
Le
Fig. 13.
r. : 2100 , en augmentant, car 1l est clair que plus la partie z due l’on
soustrait de r est petite, plus la différence y est grande.
Le rapport y va donc toujours en augmentant.
Lorsque M est très loin à gauche, x est infiniment grand etnégatif, y est voisin de + r (n° 408).
Quand M décrit la portion CA de la droite, y croît depuis la valeur r,et à mesure qu'il approche de A, y devient de plus en plus grand (n° 106).
En d’autres termes, quand M tend vers À, y tend vers
Lorsque M passe par À, le rapport y change brusque-
ment de signe et devient négatif. D'abord très granden
valeur absolue et positif, il devient très grand en valeur absolue mais négahf. On dit que y saute brusquement de + 00 à — ©.
Quand M va de A en B, le rapport est négatif et croît depuis une valeur excessivement grande en valeur absolue
et négative, depuis — , jusqu’à la valeur o, qu'il atteint à 1
quand M esten B.
Enfin, quand M dépasse B, y redevient positif et, M s'éloignant indéfiniment vers la droite de B, vers D, le rapport y tend vers la valeur + 1. y augmente de o à + 1.
La figure 13 résume les résultats.
110. — Remarque. — Lorsque M est au milieu de AB, on ay — — 1; dans ce cas, en effet, les deux segments AM et BM sont opposés.
AM ——BM.
Là M 1 PTT TM PSS
nd À. 12 0.2 EL cit add pl Cu
Fe .
