Définition. — On dit que deux équations sont

équivalentes lorsqu'elles admettent les mêmes solutions, c'est-à-dire lorsque toutes les solutions de l’une satisfont à l'autre et réciproquement.

Ceci posé, la résolution des équations est fondée sur les deux théorèmes suivants qui permettent de remplacer une équation par une équation équivalente.

137. — Théorème I. — Lorsqu'on ajoute une méme expression algébrique aux deux membres d'une équation, on obtient une équation équivalente.

Démoxsrrarion. — Considérons une équation quelconque AR (1)

où À et B désignent des expressions qui contiennent une ou plusieurs inconnues; et soit G une expression algébrique quelconque. Il s’agit de démontrer que l'équation (1) est équivalente à l’équation

REP CPP ROC (2)

1° D'abord toute solution de l'équation (1) est une solution de

En effet, désignons par a, b, c, les valeurs numériques des expressions À, B, C, quand on y remplace les inconnues par une solution de l'équation (i).

Par hypothèse, on a légalité numérique

DE 0 de là on déduit évidemment l'égalité a+c—b+0c;

ce qui prouve que la solution considérée satisfait à l'équation (2), puisque cela prouve que les valeurs numériques des deux membres de (2) sont égales lorsqu'on y remplace les inconnues par les solutions de (x).

2° En second lieu toute solution de l’équation (2) est une solution de l'équation (1).

En effet, désignons cette fois par a, b, c, les valeurs numériques de AB quand on y remplace les inconnues par une solution de l’équation (2 2). Par hypothèse on a l'égalité :

a+c—=b—+c, d’où on déduit l'égalité évidente ab;

ce qui prouve que la solution considérée satisfait à l'équation (r). Le théorème est donc démontré.

438. — Applic2tion. — Ce théorème sert à faire passer un terme d'un membre dans l’autre.

Considérons, par exemple, l'équation