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qui, multiplié par a, devienne égal à un nombre donné b. Ce nombre est, par définition, le quotient de b par a etil

est égal à la fraction 2. Donc, l'équation a dans ce cas

une solution et une seule, à savoir

b CEE:

Supposons maintenant que a soit nul, mais que b soit différent de zéro 40; bÆo,

dans ce cas l’équation est évidemment impossible (comme dans l’exemple III, n° 147).

Enfin, si a et b sont nuls tous deux

l’inconnue æ est indéterminée, c’est-à-dire arbitraire, car l'égalité 0:T—0O

est vraie quelle que soit æ.

450. — Remarque. — Lorsque dans l'équation ax — b, b étant différent de zéro, a est aussi différent de zéro, il y a une solution; lorsque a est nul, il n’y a pas de solution.

En d’autres termes, quand a devient égal à zéro, la solution disparaît. On peut se demander comment s’est effectuée cette disparition. |

Supposons alors que, dans l’équation (1), le coefficient b reste fixe et que a prenne des valeurs de plus en plus voisines de zéro, nous savons que la fraction

devient infinie (n° 106) lorsque a tend vers zéro, donc on peut dire : lorsque b restant constant et non nul, a tend vers

zéro, la solution de l'équation (1) disparaît ou s'évanouit en

devenant infinie.

Exempe. — Considérons par exemple l’équation x—a—yx où ao que nous avons déjà rencontrée (n° 405). Elle peut s’écrire x(1—Yy)—=a

et la discussion précédente fournit les résultats suivants.

Si y a une valeur différente de 1, l'équation admet une solution et

une seule. Si y tend vers 1, cette solution disparaît en devenant infinie. Ces résultats concordent bien avec les résultats géométriques déjà

signalés (n° 105).

è 3. — Inégalités du premier degré

à une inconnue.

151. — Définitions. — De même qu’on distingue les égalités en deux espèces, les identités et les équations, on peut distinguer dans les inégalités celles qui ont lieu quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres qui y figurent et celles qui n’ont lieu que si on donne à certaines lettres, appelées inconnues, des valeurs convenablement choisies. Nous désignerons ces dernières inégalités sous le nom d’inégalités conditionnelles. |

Donc :

On appelle inégalité conditionnelle une inégalité qui n'est vérifiée que si on attribue à certaines lettres appelées ineonnues des valeurs convenablement choisies.

Résoudre une inégalité, c'est trouver les valeurs qu'il faut donner aux inconnues pour qu’elle soit satisfaite.

Deux inégalités conditionnelles sont dites équivalentes lorsqu'elles admettent les mêmes solutions, c’est-à-dire lorsque toute solution de l’une est une solution de l’autre et réciproquement.

Des raisonnements analogues à ceux que nous avons faits ($ 1) dans la théorie des équations permettent d'établir les théorèmes suivants : "e

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. ali

452. — Théorème I. — Lorsqu'on ajoute une méme expression algébrique aux deux membres d'une inégalité conditionnelle, on obtient une inégalité équivalente.

Ce théorème permet de faire passer un terme d'une inégalité d'un membre dans l'autre.

Il en résulte que :

On peut mettre toute inégalité conditionnelle sous la forme

A>xo,

À désignant une certaine expression algébrique.

Si À est un polynôme entier par rapport aux inconnues, l'inégalité est dite entière. Le degré du polynôme est le degré de l'inégalité.

453. — Théorème II. — Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité conditionnelle par un

même nombre :

1° Si le nombre est positif, on obtient une inégalité équi-

valente.

2° Si le nombre est négatif, on obtient une inégalité équi-

valente à condition de changer le sens de l'inégalité.

Ce théorème se démontre comme celui du n°14, en tenant compte du théorème du n° 70; il permet de faire disparaître les dénominateurs d'une inégalité.