Cet exemple suffit pour montrer la marche à suivre
Règle. — Pour résoudre une inégalité du premier degré à une inconnue :
1° On chasse les dénominateurs en appliquant le théorème II (n° 153); 2° On fait passer tous les termes dans un membre. On obtient ainsi une inégalité de la forme : ax —b>o. Considérons alors l'inégalité générale du premier degré ax — b > 0.
Cette inégalité équivaut à la suivante ar > D:
1° Si a est positif, en multipliant par = (n° 453), il vient : b ie: | Cette inégalité, équivalente à la proposée, met les solutions en évidence.
2% Siaest négatif, en multipliant les deux membres de l'inégalité ax > b cn par - il faut changer le sens. On obtient ainsi
qui met la solution en évidence.
$ 4. — Équations du premier degré à plusieurs inconnues.
156. — Deux méthodes. — Les procédés de calcul utilisés pour résoudre un système de deux équations à
deux inconnues peuvent être classés en deux catégories connues sous le nom de méthode de substitution et méthode d'élimination.
Nous allons les exposer successivement en traitant d’abord quelques exemples.
157. — Exemple I. — Considérons d’abord un système tel que le suivant | Yy—20— 13, FD LU 17; dans lequel l’une des équations est résolue par rapport à l’une des inconnues. Dans ce cas, on emploie la méthode de substitution.
On remplace, dans la seconde équation, y par sa valeur tirée de la première, ce qui donne 3@ — 2 (20 — 13) — 17 ou 3@ — 4 + 26 — 17, et, par suite, 0:
La première équation donne alors, en y remplaçant æ par
sa valeur, Y—= 2-9 — 13 —5.
1458. — Justification. — Il est très aisé de justifier la méthode précédente. Considérons plus généralement le système suivant
— ax + b, (D) HR NRRER
a, b, m, n, p, représentant des nombres algébriques donnés. Concevons une solution (x, y) du système. La valeur x doit évidemment satisfaire à l'égalité :
max+n(ax+b)=p
{m+na)x+bn=p,
obtenue en remplaçant y par sa valeur dans la seconde équation ; donc æ est forcément égal à
ou
REA Pts (1) m+na
Bounzer, Æ ÉLÉM, D'ALGÈBRE: e)
a NT UNE AP 4 s xd | £ , [ M RUES TA à CU FT TAN
SAR Fo nn + 2 en Î {
si, comme nous le supposerons, (m + na) n’est pas nul, Alors y est forcément donné par
y—=UûX + = + b; ou Sainte 1 m+na B)
Réciproquement, si on remplace, dans la seconde équation du système (1), æ et y par leurs valeurs (1) et (2), on trouve que cette équation est vérifiée. Donc dans les cas où (m + na) n’est pas nul, le système (1) admet une solution et une seule définie par les égalités (x) et (2).
459. — Exemple II. — Dans les exemples qui précèdent, nous avons supposé que l’une des deux équations était résolue par rapport à l’une des inconnues y. S'il n’en est pas ainsi, on commence par résoudre l’une des deux équations par rapport à l’une quelconque des deux inconnues.
Considérons par exemple le système
y +2=y+ .$ 20+y—3—Db5y—3%+8.
Résolvons la première équation par rapport à æ, comme ‘si c'était une équation à une seule inconnue, nous obtiendrons (n°° 138 et 143) l'équation équivalente :
qui peut remplacer la première. Le système proposé peut donc s’écrire sous la forme équivalente :
Il a maintenant la forme précédente. Remplaçons æ par sa valeur dans la seconde équation et elle devient :
Sad 1 2e EU RDS É 2 4
ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. 115 On en tire :
201 — 36, ou y en F5 On a, alors :
TX —6y—3—6—53—53,.
160. — Méthode de substitution. — Les exemples qui précèdent nous suffisent pour pouvoir alors énoncer la règle suivante :
Règle. — Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues :
1° On résout l’une des équations par rapport à l’une des inconnues comme si cette inconnue était seule ;
2° On porte la valeur ainsi obtenue dans la seconde équation ;
0° On tire alors de la seconde équation la valeur de la seule inconnue qu'elle contient;
4° On porte cette valeur de l’inconnue calculée dans la première équation, qui ainsi donne la valeur de l'autre inconnue.
. Cette méthode est dite de substitution, parce qu’elle consiste à substituer dans l’une des équations, à l’une des inconnues, sa valeur tirée de l’autre.
