Définition. — D'une façon générale

On appelle graphique ou courbe représentative d'une fonction la courbe obtenue en construisant tous les points obtenus en donnant à x toutes les valeurs possibles de — © à + et prenant pour l’ordonnée y les valeurs correspondantes de la fonction.

C’est ce que nous avons fait dans les exemples qui précèdent.

Pour le graphique des températures, nous avons porté sur ox, en abscisses, les heures et nous avons construit les points ayant pour ordonnées les valeurs correspondantes de la température. La ligne qui passait par tous ces points était le graphique ou la courbe représenlative de la température.

224. — Théorème. — La courbe représentative d'une fonction linéaire est une droite.

Pour démontrer cette proposition importante nous distüinguerons plusieurs cas, suivant les valeurs de a et b et leurs signes dans l'égalité

y—=az + b

qui définit la fonction.

225. — Premier cas particulier. — Supposons d'abord a—0. — On a alors y— 0.

La valeur de y est constante, quel que soit æ. L'’ordonnée y étant constante, tous les points de la ligne représentative sont à la même distance b de ox, cette ligne est donc une parallèle BB’ à ox y (fig. 20) qui coupe oy en un g' point B tel que OB—b.

D'ailleurs, inversement, pour tout point M de cette droite l'ordonnée

PM—0B—b

est égale à b.

On remarquera que la fonction y étant constante ne croît

pas et ne décroît pas. La ligne représentative reste horizontale, elle ne monte pas ni ne descend pas.

226. — Deuxième cas particulier. — Supposons, en second lieu, b—0. — On a alors, y =aR. (1)

Faisons æ—1, il vient : y—a. Marquons (fig. 21 ou 2») le point A de coordonnées r et a.

- Nous allons montrer que la ligne représentative de la fonction définie par l'égalité (1) est la droite OA.

Soit en effet M un point quelconque de coordonnées æ et y tel que l'égalité (1) soit vérifiée. On aura, en vertu de cette égalité,

y a (2) M) Abaissons de A et M les perpendiculaires AB et MP sur ox.

On a :

“RÉ NOnEn OP—x, PM—y.

L'égalité (2) s'écrit

donc

OP OB Fig. 21,

En premier lieu, légalité (2) prouve que si a>0o, æet y sont de même signe. Donc si A est dans l'angle (1) (fig. 21), M est soit dans l’angle (1), soit dans l'angle (3).

Si, au contraire, a << 0, æ et y ont des signes contraires. Donc, si À est dans l’angle (4) (fig. 22), M est soit dans l'angle (2), soit dans l'angle (4).

Dans tous les cas, M est situé dans les angles traverses par la droite OA.

Pour prouver que M est bien situé sur OA, ïül suffit

D FAX donc de prouver que l’angle POM est égal à l'angle BOA (fig. 21 et 22). Or, ceci est évident, car, d’après l'égalité (3), les deux triangles OBA et OPM ont un angle égal (droit), compris entre des côtés proportionnels; ils sont donc semblables, et on a bien

Fa AN POM = BOAÀ.

Le point M est donc toujours sur OA.

La droite OA, étant le lieu des points M tels que leurs coordonnées satis-

fassent l'égalité (1), est bien la courbe représentative de la fonction ainsi définie.

227. — Cas général. — Considérons la fonction linéaire générale y—=aR + b, où b est quelconque.

Considérons alors la fonction y’ suivante :

y —ax.

Nous venons de voir que son graphique est une droite OA passant par l’origine des coordonnées O. Traçons cette droite (fig. 23).

Soit M un point quelconque de coordonnées x et y, y étant égal à ax + b. Figurons le point M’ de même abscisse æ et d'ordonnée y’ égale à ax. D’après ce qui précède, M’ est sur OA. Les points M et M’ ayant même abscisse sont sur une même parallèle PM à oy, et on a (n° 70) :

MM—PM—PM—=y—7",

NT -V'P ar

DS né crées cé ns pe tr ER) re

d’où on tire, en remplaçant y et y’ par leurs valeurs : M'M=ax + b—ax—b.

Le segment MM est donc constant et égal à b.

Lorsque æ varie, M’ décrit la droite OA; il en résulte que M décrit la droite BC parallèle à OA déduite de OA par une translation égale à b et parallèle à oy. En d’autres termes, le lieu décrit par le point M est la parallèle BC à OA menée par le point B de oy tel que

OB—b.

Cette droite BC est la

ligne représentative de la fonction.

228. — Coefficient angulaire. — Il résulte de tout ce qui précède, que le graphique de la fonction linéaire

y—=ax + 0 est une droite. | Les deux nombres a et b jouent deux rôles très différents.

Le coefficient a fixe la direction de la droite, car, quand a est connu, la parallèle OA (fig. 23) à la droite BC est connue. On peut encore dire que a fixe l'angle que fait la droite avec ox; c’est pour cette raison que l’on nomme «a

. le coefficient angulaire de la droite.

Lorsque le coefficient angulaire a est nul (n°225) la droite est parallèle à ox, elle fait avec ox un angle nul. La droite ne monte pas et ne descend pas, la fonction est constante.

PT ENT ROAT TTO : #s 70

Lorsque le coefficient angulaire a est positif, la droite OA est dans les angles (4) et (3) (fig. 23); la droite BC monte et, d’ailleurs, comme nous le savons (n° 241), fonction est croissante.

Lorsque le coefficient angulaire a est négatif, la droite OA est dans les angles (2) et (4) (fig. 24); la droite BC descend et, d’ailleurs, comme nous le savons (n° 212), la

fonction est décrois-

(2) (1) sante.

Toutes les circonstances générales annoncées au n° 215, se vérifient bien ici.

La ligne représentative de la fonction montre de suite, à première vue, Si (3) (4) cette fonction croît ou décroît.

Mais il y a plus.

Il suffit d'examiner les figures 23 et 24 pour voir que quand a part de o pour croître en valeur absolue, l'angle

Fig. 24.

ne de la droite avec ox part de o pour aller en croissant.

Le coefficient angulaire donne donc une idée de la grandeur de cet angle. Plus le coefficient est grand en valeur absolue, plus l'angle est grand.

Plus le coefficient angulaire est grand en valeur absolue, plus la droite monte vite ou descend vite.

Ce coefficient est d’ailleurs identique à ce qu'on appelle. la pente d’une route.

Si on considère oæ comme MR tin a indique de combien le point M s'élève verticalement par mètre parcouru horizontalement.