DE LA MULTIPLICITÉ DES VALEURS D UN RADICAL

Déjà l'équation x^— p^= o, résolue précédemment, a donnô X = p et x= p

Considérons actuellement l'équation

et observons que, si l'on remplace, pour le moment, p par — /V, elle dO' vient

x^ — /-''■'-- o, d'où l'on déduit

x = p' et x^p y j,

ou, remettant à la place de p' sa valeur — p,

X = — p et X =^

Ainsi l'équation x^ — //= o, et p.r conséquent la racine sixième de n admet six valeurs : /?, o^p, v.'p, — />», — y.p, — z'/^, en posant, pour simpliQer,

Nous pouvons conclure, par analogie (ce qui sera d'ailleurs démontré par la suite d'une manière plus complète), que toute équation de la forme x'"— a = o, ou x"" — if= o, est susceptible de m solutions différentes; c'est-à-dire que la racine m"""' d'un nombre admet m valeurs algébriques différentes,

168. Première Remarque. — Si dans les équations précédentes et les résultats qui leur correspondent on suppose comme cas particulier

a = I , d'où p = J,

on obtiendra les racines carrées, cubiques, quatrièmes, etc., de l'unité. Ainsi H- I et — i sont les deux racines carrées de l'unité; car l'équation x'— 1= o donne

X = dzl.

TA A — i-+-v/— 3 — I — v/— 3 . , , .

De même -s- 1 , ? sont les trois racmes cu-

biques de l'unité, ou les racines de .r' — i = o.

24o CHAPITRE V.

i. ,^ i^ i- y/— 7, — v/— • ?ont les quatre racines quatrièmes de l'unité, ou les racines de j:'— i — o.

1G9. Seconde Remarque. — Soit, en général, l'équation

od"^-a = o.

Désignons par p la valeur aritlimctique de la racine m""" de <?, ce qui donne p"'— a\ l'équation ci-dessus devient

a:" — /j"" == o ; et si l'on pose x = px, y étant une nouvelle inconnue, il en résulte

p'"j-"'~p"'-^oi ou, en divisant par/?",

Ce qui prouve que, connaissant toutes les valeurs de "iji ou de "\l—\, on obtiendra celle de ""yja ou de "\J—a, en multipliant p par les différentes racines ni'""" de -h i ou de — i .

170. Il résulte de l'analyse précédente que les' règles du calcul des radicaux établies pour l'hypothèse où l'on opère sur des nombres absolus sont susceptibles de quelques modifications lorsqu'on opère sur des expressions ou symbr.lcs purement algébriques. C'est surtout quand on applique ces règles aux expressions imagi/utircs que ces modifications sont nécessaires, comme étant une suite de ce qui a été dit au n" 1G7.

On demande, par exemple, le produit de \'—ti par \/—a. La règle du n° 163 donne

^ — a X sj —a = \J —a'- = —a.

Cette double valeur du produit est une réponse exacte tant que, dans l'expression \/—a x \/—u, les deux radicaux comportent le double signe =i= ; mais si l'on admet que les radicaux soient de môme signe, comme alors >f^i X \J^^a revient à (v/— af, et que, pour élever }/ni au carré, il suffit de supprimer le radical, on a nécessairement ""

y/ — a X yf^a = — a.

Soit, en second lieu, à former le produit \/—a x \^—b; on aurait, d'après la règle du n° Ido,

\/ — a X \/ — h = \/~ ab.