CAS SINGULIERS DU CALCUL DES RADICAUX

Or \fcîb = rr p ( 167), /J désignant la valeur arithmétique de la racine carrée de ab ; mais je dis que le véritable résultat doit être — /^ ou — v/^» dès que l'on considère les deux radicaux \J — a et \J — b comme précédés l'un et l'autre du signe -i-.

En effet on a

\/— a = \râ \/— I et \'— b = \rb \J~ 1 ; donc

= v/fi^ X — 1 = — v^.

On trouvera, d'après ces principes, pour les diverses puissances de

Comme les quatre puissances suivantes s'obtiendraient en multipliant la quatrième, -i-i, respectivement par la première, par la deuxième, la troisième et la quatrième, on retrouverait encore, pour ces quatre nouvelles puissances,

donc toutes les puissances de \f—\ forment des périodes de quatre termes. Soit encore proposé de déterminer le produit de v' — « par v — ^j qui> d'après la règle, serait \^ -^ab^ et, par conséquent (1G7), donnerait les quatre valeurs

■^\jab^ — <^ ab , -\- \J ab \/— i, — \ ab v^— i.

Mais, pour déterminer le véritable produit, observons que

4/ il— i: i > 4,7 1,

or donc

y* — flX v — b = \^ ab y —\, Aig. B. l6

Appliquons les calculs pr(!'cédents à la v(f'rification de l'expression

considérée comme racine de Téquation

c'esl-à-dire comme racine cubir/ur de i. {Toir n° 168.) D'après la formule

(r,-{-bY^ a'-^- 3a'b + 3fib- — b\ on a

On vérifierait de même la seconde valeur § IV. — Théorie des exposants de nature quelconque, — notions