DE LA MULTIPLICITÉ DES VALEURS DUN RADICAL

Remarques sur les valeurs algébriques des radicaux. — Conséquences qui en résultent dans le calcul de ces expressions.

1G7. Les règles qui viennent d'être établies pour le calcul des radicaux sont fondées principalement sur ce principe, que la racine rf^"" d'un produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines rfi'"" de ces différents facteurs ; et la démonstration de ce principe repose (dG2) sur ce que, si les puissances de même degré de deux quantités sont égales, les quantités sont aussi égales. Or cette dernière proposition, qui est vraie en tant que l'on ne considère que des nombres absolus, ne l'est pas toujours pour les diverses expressions auxquelles peut conduire l'Algèbre.

Pour vérifier l'exactitude de cette assertion, nous prouverons qu'un même nombre peut avoir, algébriquement, plusieurs racines carrées, plusieurs racines cubiques, plusieurs racines quatrièmes, etc.

Désignons, en effet, par x l'expression générale de la racine carrée d'un nombre <?, et par p la vcdeur munérique ou arit/tméticiue de cette racine carrée ; on a l'équation

x'^= «, ou x"^— p^, de laquelle on tire x~ —p.

D'oii l'on voit que, de quelque signe qu'on affecte la valeur arithmétique /?, de la racine carrée défi-, son carré donne é.i^alement <?, résultat conforme à ce qui a été dit au n° 85.

Soit, en second lieu, x l'expression générale de la racine cubique de a, et désignons par p la valeur numérique de cette racine; on a l'équation

X'^ = (7, ou X^ = p\

Cette équation est d'abord satisfaite par x -=z p.

Observons maintenant que l'on peut mettre x^ = p^ sous la forme

Or on a vu (3i) que l'expression x^ — p^ est divisible par x — p, et donne pour quotient exact

x^ -+- px -\- /?' ;

l'équation ci-dessus peut donc être transformée ainsi

{x — p) [x^-i- px -h p'') = o, équation à laquelle on satisfait, soit en posant

X — p = o, d'où .r = /?,

238 CDAPITRE V.

soit on posant

x' -f- ]jx -;- p^ ■■■- o, d'où .r -- —'- ±'- \/^ 3, ou bien,

On voit donc que /« racine cubique de o admet trois valeurs algébriques différentes, savoir

Pi P

Soit encore à résoudre l'équation

x^ =^ a ou X* = iifi

[p désignant la valeur arithmétique de s/ a]. Cette équation peut se mettre sous la forme

or l'expression x^ — p* revient (19) à

donc l'équation revient elle-même à

[x'—p-){x'-^-p^]^o\ et l'on peut y satisfaire, soit en posant

x'^— //— o, d'où .r — zb/Pj soit en posant