THÉORIE CES EXPOSANTS DE NATL'RK QUELCONQUE
Ainsi
De même, que l'on ait à diviser a"" par a", m et n étant entiers et positifs.
On a vu (23) que, dans le cas de m > n, il faut retrancher l'exposant (lu diviseur de celui du dividende; ce qui donne a'"'".
Mais si l'on a m <«, on convient de la même notation n"'"" pour indiquer la division.
Soit p la différence absolue entre n et />i ; on a alors
n = m - o, d ou — r^ "" p = a~^ :
d'ailleurs, -^j^;- se réduit à — par la suppression du facteur a"' commun aux deux termes; donc
L'expression crP est donc le symbole d'une division qui n'a pu s'effectuer', et sa vraie valeur est le quotient de r unité divisée par la métne lettre a affectée de l'exposant p pris positivement.
Ainsi
La notation de l'exposant négatif a l'avantage de conserver une forme entière aux expressions fractionnaires.
De la combinaison d'une extraction de racine et d'une division, impossibles à effectuer sur des quantités monômes, résulte une autre notation, celle de X exposant fractionnaire négatif.
Soit à extraire la racine «'*"" de —-. ■
On a d'abord
^ i~T rn
— ;; = «-"'; donc \ —, = v'""'" = « " , en remplaçant le signe ordinaire du radical par un exposant fractionnaire.
Les expressions a"-, a~P, a « sont donc, d'après des conventions fondées sur les règles précédenurent établies, des notations équivalentes ù
244 CDAPITRE V.
Ainsi l'on peut, suivant les circonstances, remplacer les premières par celles-ci, et réciproquement.
Comme dans le discours, ff s'énonce a puissance /j, p étant un nombre
entier positif, de même, par analogie, «« , «-'', a « , s'énoncent : a puissance — 1 a puissance - p, a puissance — — ; ce qui a engagé les algé-
bristes à généraliser le mot puissance. Mais il serait peut-être plus convenable de n'employer que les dénominations a exposant —, exposanl.^
— w, exposant ; en consacrant uniquement le mot puissance à désigner le produit de plusieurs facteurs égaux à un nombre donné. [Foir le n" 2.)
172, Ces notions sur l'origine et la signification des quantités afFecléea^ d'exposants quelconques étant établies, nous allons démontrer que le calcul de ces sortes de quantités est soumis aux mêmes règles que celui desi quantités affectées exclusivement d'exposants entiers et positifs. ™
Multiplication. — Soit d'abord a^ à multiplier par a'; je dis qu'il suffit Rajouter les deux exposants, et que l'on a
En effet on a vu ('171 ) que ^
a^='^/'^, a'^l/'â-; donc a^ xn"' = yi? x yâ\ "^
ou bien, effectuant l'opération d'après la règle du n° 1G3,
Soit, généralement, «""" à multiplier par ^-7; je dis que l'on a
m p m p np-mq i
oT '^ -^^ a~l = a' '^ ~l — a "1 . \
En effet j
<o =. ta": •:
donc
np-mq
THÉORIE DES EXPOSANTS DE NATURE QUELCONQUE. Ol^5
Ainsi, règle générale, pour multiplier l'un par l'autre deux monômes affectés d'exposants quelconques, il faut, pour chacune des lettres, ajouter les deux exposants; c'est la règle déjà établie (16), pour les quantités affectées d'exposants entiers et positifs.
On trouvera, d'après cette règle,
Al 11 J L 1 1
Division. — Pour diviser l'une par l'autre deux quantités monômes affectées d'exposants quelconques, il faut suivre la règle qui a été établie (22) pour les quantités affectées d'exposants entiers et positifs; c'est-à-dire qu'il faut, pour chaque lettre, retrancher Vexposant du diviseur de celui du dividende.
En effet l'exposant de chaque lettre dans le quotient doit être tel qu'ajouté à celui de la même lettre dans le diviseur la somme soit égale à l'exposant du dividende ; donc l'exposant du quotient est égal à l'excès de l'exposant du dividende sur celui du diviseur.
On trouvera, d'après cette règle,
1 i. il JL ±
Formation des puissances. — Pour élever à la m'^"" puissance un monôme affecté d'exposants quelconques, il faut, conform.ément à la règle du n° 1S8, multiplier l'exposant de chaque lettre par l'exposant m de la puissance; car, élever ce monôme à la w'"""" puissance, c'est former le produit de m facteurs égaux à ce monôme ; donc, d'après la règle de la multiplication, il faut multiplier chacun des exposants par m.
Ainsi
UV = « * , W) = a' =. a\
Extraction des racines. — Pour extraire la racine n'"""^ d'un monôme, il faut, en suivant la règle du n" 158, diviser l'exposant de chaciuc lettre par l'indice n de la racine.
En effet l'exposant de chaque lettre, dans le résultat, doit être tel que, multiplié par l'indice n de la racine à extraire, il reproduise l'exposant
flont la lettre est affectée dans le monôme proposé ; donc les exposants, dans le rc^sultat, doivent être respectivement égaux aux quotients de la division des exposants, dans le monôme proposé, par l'indice n de la racine. Ainsi
Les trois dernières règles ont été facilement déduites de la règle relative à la multiplication ; mais on pourrait les démontrer directement en remontant à l'origine des quantités aiïectées d'exposants quelconques.
Nous terminerons par une opération qui renferme implicitement les deux précédentes, quant à la démonstration.
Soit rt" à élever à la puissance ; il faut prouver que l'on a
En effet, si l'on remonte à l'origine de ces notations, on trouve que
\/(J) Viv'^T V^«"-^
L'avantage que présente l'emploi des exposants de nature quelconque consiste principalement en ce que le calcul de ces sortes d'expressions n'exige pas d'autres règles qu3 celles qui ont été établies pour le calcul des quantités affectées d'exposants entiers. En outre, ces calculs se réduisent à de simples opérations sur les fractions, opérations avec lesquelles nous sommes déjà familiarisés.
173. Remanjue. —Nous serons, dans la suite, conduits, par la résolutien de certaines questions, à considérer des quantités affectées d'exposants incommc/mimblcs. Or les règles que nous venons d'établir pour le cas où les exposants sont commensurables sembleraient devoir être aussi démontrées dans le cas d'exposants incommensurables ; mais observons qu'un nombre incommensurable, tel que \/3, y/ii, est, par sa nature, composé d'une partie entière et d'une partie d'unité qui ne peut être exprimée exactement, mais dont il est possible cVapprodicr autant que l\>n
