APPLICATION DE LA FORMULE DU BINOME, ETC

veut ; en sorte que l'on peut toujours concevoir le nombre incommensurable remplacé par un nombre fractionnaire exact qui n'en diffère que d'une quantité moindre que toute grandeur donnée ; et en appliquant les règles au symbole qui désigne le nombre incommensurable, il faut sousentendre qu'on les applique au nombre fractionnaire exact qui le représente approximativement. En définitive, dans les applications numériques, on ne peut se tormer l'idée 'd'un nombre incommensurable qu'en le supposant remplacé par un nombre fractionnaire exact qui en exprime une valeur plus ou moins approchée; et cette approximation n'a pas de limite. Ainsi nous pouvons conclure que les règles précédentes sont applicables au cas où les exposants sont incommensurables. Elles le sont môme, par extension, aux exposants imaginaires.

Jpplicaiion de la formule du binôme à l'extraction des racines par approximMion .

174. Puisque l'on doit étendre au calcul des exposants quelconques les règles du calcul des exposants entiers et positifs, il est assez naturel de penser que la formule du binôme qui sert à développer la m^"" puissance d'un binôme , /« étant un exposant entier et positif) peut également servir lorsque m est un exposant fractionnaire, positif ou négatif. C'est, en effet, ce que les analystes ont reconnu; et ils ont déduit de là des conséquences importantes, tant pour V extraction des racines par approximation que pour le développement des expressions algébriques en séries.

Nous renvoyons, pour la démonstration générale de cette formule, au \\° 182, et nous allons dès à présent en montrer l'usage dans l'évaluation approchée des racines de degré quelconque des nombres particuliers.

Mais, avant tout, il est nécessaire de lui faire subir une transformation.

Reprenons cette formule

[x -\- af — ^ -^ max"'-^ -+- m a"^ jd"~- -t- . . . ,

et mettons le facteur x"' en évidence dans le second membre. On obtient

ou, posant /« — -> ' ' n

[x -f- aY= '^x -i- a

248 CDAPITRE V.

OU bien encore,

Si l'on voulait former un nouveau terme,- il suffirait évidemment de

multiplier le quatrième par — et par -> puis de changer le signe,

et ainsi de suite.

17S, Cela posé, soit à extraire la racine cubique de 3i. Le plus grand cube contenu dans 3i étant 27, faisons, dans la formule (i), /? = 3, X = 27, et <7 = 4; ce qui donne

y/Sl = y/17 -r-4 = 27'^f

il vient

3,7;- „ / 14 1116 I I 5 6ji V 01 = d I I-:-

3 27 3 3 729 339 19G83 ou bien, en effectuant les calculs,

Le terme suivant s'obtiendrait, d'après ce qui a été dit ci-dessus, en

multipliant ^^ , , par — ; » ou par tt — ■> et changeant le signe,

ce qui donnerait — —

40046721 On trouverait de même, pour le terme qui suit ce dernier,

2560 /^n — I (7 256o II 4 112640

et ainsi de suite.

Mais ne considérons que les cinq premiers termes de la série, et réduisons en décimales. Nous obtenons d'abord, pour les termes additifs,

ArPLlCATIOX DE LA FORMULE DU BIKOME, ETC. 249

et pour la somme des termes soustractifs,

Donc

(Nous prouverons tout à Theure que ce résultat est esact à moins de 0,00001 près.)

d76. Remarque. — Lorsque l'expression d'un nombre est développée en une suite de termes dont les valeurs numériques vont en décroissant indéfiniment, on conçoit qu'en général plus on prend de termes dans la / série, plus on approche de la vraie valeur du nombre proposé. Si, en outre, on suppose que les termes soient alternativement positifs et négatifs, on peut, en s'arrêtant à un terme de rang quelconque, déterminer d'une manière précise le degré d^ approximation obtenu.

En effet, soit une suite indéfinie de termes,

dans laquelle on suppose que a, b, c, d, . . . sont des nombres absolus décroissants, et désignons par x la valeur numérique de cette série.

Je dis d'abord que cette valeur est comprise entre deux sommes consécutives quelconques de termes de la série.

Car prenons au hasard les deux sommes consécutives

a — b -T- c — d -^ e — f, et a — b -^ c — d -r e — f -^ g-

Considérons la première, et observons que les termes qui suivent — / sont -- g — /i, -T- A — /, -H. . . ; mais puisque la série est décroissante, les différences g — /i, h — l, ... sont des nombres positifs; d'oîi il suit que, pour obtenir la valeur complète de jt, il faut ajouter à la somme a — b-i-c — d^e — f un certain nombre positif.

On a donc

a — b-^c — d-he — f<.x.

Quant à la seconde, les termes qui suivent -h g sont — h-h- />, — l -h m...; or les différences —h-^fi, — l-h m,. .. sont négatives; d'où l'on voit que, pour avoir la vraie valeur de x, il faut ajouter à la somme

aSo CDAPITRE V.

une quantité négative, c'est-à-dire diminuer cette somme. Ainsi l'on a

Donc X est compris entre ces deux sommes.

Conséquence. — La valeur numérique de la différence entre ces dcuï sommes étant g, il s'ensuit que

L'erreur commise lorsqu'on prend un certain nombre de termes pour la valeur de x est numériquement moindre que le terme qui inenl après celui auquel on s'est arrêté.

Ainsi, dans l'application du numéro précédent, tous les termes étant alternativement positifs et négatifs, et allant en décroissant à partir du second, on peut en conclure que la valeur numérique de la somme des cinq premiers termes

4 'P 3ao 256o

diffère de \/3i d'une quantité moindre que la valeur du sixième terme que

l'on a trouvé (175) égal à r— — : r- Or cette fraction est, d'après sa

seule inspection, au-dessous de ; donc 5 3i ■ 3, 1 41 38 à 0,00001

près : ce que l'on pourrait vérifier par le procédé ordinaire, mais par des

calculs plus laborieux que les précédents.

177. Voici en quoi consiste le procédé pour extraire approximativeraenl la racine «''"" d'un nombre entier N par le moyen des séries :

Décomposez N en deux parties p" -1- q, p étant la j-acine de'iH obtenue à une unité près ( 1 53 ) , et faites, dans le développement de '^!x -.- a [ 1 73 X = /?", a ^^ q. Effectuez les calculs, en vous arrêtant au terme dont isuivant soit, d'après son inspection, inférieur à l'unité de l'ordre décime, (lui détermine V approximation ; convertissez en décimales tous les tcrnu dont vous avez tenu compte, et opérez la réduction des termes tant ac. ditifs que smmtractifs.

Cette méthode n'est avantageuse qu'autant que -^ est une fraction assez

petite; car autrement les termes de la série ne diminueraient pas trèt~rapidement, et il faudrait un grand nombre de termes pour donner le degré d'approximation désiré; ce qui entraînerait dans de longs calculs. On est môme obligé de modifier la marche précédente toutes les fois

que l'on a p" <q ; car alors —, ou -^5 est plus grand que l'unité, ainsi