MÉTHODES DES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS

donc

MÉTHODES DES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS. — NOTIONS SUR LES SÉRIES RÉCURRENTES.

179. Les algébristes ont inventé, pour le développement des expressions algébriques en séries, une autre méthode qui est, en général, plus simple que celle dont nous venons de parler, et qui d'ailleurs est beaucoup plus féconde, en ce qu'elle s'applique à des expressions d'une nature quelconque.

Pour donner une première idée de cette méthode, nous nous proposerons de développer l'expression -; — -p- en une série qui procède suivant les puissances entières et positives de x. H est visible que ce développement est possible; car , ., revient à «(«'+ b'x]-' ; et, en appliquant la formule du binôme, on obtiendrait une suite de termes procédant suivant les puissances ascendantes, entières et positives de x. Posons donc'

(i) , ^',, =k-i-Bx — Cx'-i-'Dx''^Ex'-i-¥x'-^...,

A, B, C, D, . . . étant des coefficients fonctions de a, <?', b', mais indépendants de x; coefficients qu'il s'agit d'ailleurs de déterminer, et que par cette raison l'on appelle coefficients indéterminés. (Cette dénomination est impropre : d'après le sens attribué jusqu'ici au mot indéterminé, il vaudrait mieux dire coefficients à déternnncr; mais nous nous conformerons à l'usage.)

Pour parvenir à la détermination de ces coefficients, chassons le dénominateur de l'équation (i) ; ordonnons par rapport à x, et transposons le terme a : il vient

i Aa'-t-Ba' (a)

-h B6' -^ Cb'

x^ -\-'Ea' -i-Hb'

Remarquons maintenant que, si l'on suppose les valeurs de A, B, C, D, . . . convenablement déterminées, l'équation (i) doit se vérifier, quelque valeur que l'on donne à x\ ainsi il en est de même de l'équation (2).

Or, lorsqu'on suppose ^ = o, celle-ci devient

* 0 = Art' — a.

d'où l'on ih'duil la valeur de A,

A étant (^gal à - > quand on a jt - o, doit conserver la même valeur

lorsque ^- est quelconque, puisque A est indépendant de x. Ainsi, quel que soit x, l'équaton (2) se réduit à

-.-Xb'

(3) < ou, divisant par j:,

B<7' Crt' I X -Yia' I x-^\- . .. î -4-Aé'^ BZ»' : -C^' ; ]^^'

Cette équation devant encore se vérifier pour toute valeur de x^ faisons jr — • G ; il en résulte

Brt'-T-A6'.= o; d'où l'on tire

B Ai' ,. r? // ah'

B = 7- 5 ou bien B = -, x , = 75 •

a a II a

Comme B doit conserver cette môme valeur, quel que soit j7, supprimons dans (3) le premier terme B«'-i- Ai', qui s'anéantit par cette valeur de B, et divisons par x ; il vient

-f-Bi' .-Ci' I ^-Di' I Faisons de nouveau ^ = o ; il en résults

Cr/-f-Bi'^ o,

d'où l'on déduit

ou bien C = — —r-, x

On trouverait de même

D«'-^Ci'^ 0,

d'où

, ou D = -rr- X ;

ab'-

et ainsi de suite.