MÉTHODES DES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS

Il est aisé de reconnaître qu'un coefBcient quelconque se forme au moyen du coefBcient qui précède, en multipliant celui-ci par ,; ainsi

on a

ab' ab" , ab' , ab'

180. En réfléchissant sur les raisonnements qui précèdent, on voit que le principe fondamental de la méthode des coefficients indéterminés consiste en ce que.

Si une équation de In forme

M -)-N^ -!-Pj7--+- Q.r^H-. . . = G

(M, N, P, . . . étant des coefficients indépendants de x) doit se ■vérifier, quelque valeur que Von donne h x, il est nécessaire que chacun des coejficients soit séparément égal à o.

En effet, puisque ces coefficients sont indépendants de x, dès qu'on parvient à les déterminer d'après les hypothèses particulières faites sur X, ces valeurs seront celles qui leur conviennent lorsqu'on suppose .r quelconque. Or, en faisant j: = o, on trouve M = o; et Téquation se réduit, après la division par x, à

N -;- Vx ~ Q.r'-i- . . . = o;

faisant, dans cette nouvelle équation, x = o, on trouve N - o ; et l'équation se réduit, lorsqu'on a divisé par .r, à o = P -i- Qx -;-...; et ainsi de suite. On a donc séparément

Ce principe s'énonce encore d'une autre manière : Si une équation de la forme

a ~ bx -h ex- -r- dx^ -^ . . . =■ a' -\- b'x -f- c' x'^ -i- d'x^ . . .

doit être vérifiée, quelque valeur que l 'on donne à x, les termes affectés d'une même puissance dans les deux membres sont respectivement égaux. En effet, après la transposition de tous les termes dans le second membre, l'équation est de même forme que ci-dessus ; d'où l'on déduit

«' — rt = o, b' — b ~ o, c' — c — o, . . . ,

et par conséquent,

On donne (42) le nom à' équation identique à toute équation dont les termes sont ordonnés par rapport à une certaine lettre, et qui doit se vérifier pour toutes les valeurs attribuées à celte lettre, afin de b distinguer d'une équation ordinaire, c'est-à-dire d'une équation qui ne peut être satisfaite que par certaines valeurs attribuées à cette lettre.

181. La méthode des coefficients indéterminés exige encore que l'on connaisse à priori la forme du développement par rapport aux exposants de X. Ordinairement, on suppose que le développement procède suivant les diverses puissances ascendantes, entières et positives de .r, à partir de la puissance jt*; mais quelquefois cette forme n'est pas convenable, et la suite des calculs le fait reconnaître.

Soit, par exemple, à développer l'expression Posons

ix — x'^

Zx — x^

= A-^Bjch-C^c'-^Dx^

en chassant les dénominateurs et ordonnant, on trouve

— i-,-3Aar^ 3B | a;=-h3C ■ j:^— 3D i x' -~ .

- Al - B I - C I

d'oîi l'on devrait conclure (180)

Or la première équation — i = o est absurde, et indique que la forme ci-

dessus ne convient pas à l'expression

pression sous la forme - x

"ix — x' et posant

Mais en mettant cette es-

' X:;-^ = -(A--B.r-HCx'-^D.r'-^...),

on obtient, toute réduction faite,