AH-3B
ce qui donne les équations
DÉMONSTRATION DE LA FORMULE DU BINÔME, ETC. nS']
d'où l'en tire successivement
Donc
Sx — x^
ou bien
c'est-à-dire que le développement renferme dans son expression un terme affecté d'un exposant négatif.
182. Démonstration de la formule du binôme par la méthode des coefficients indéterminés.
Pour faire apprécier la fécondité de la méthode des coefficients indéterminés, nous allons donner une démonstration complète de la formule du binôme, fondée sur celte méthode.
AGn de simplifier les calculs, nous remarquerons d'abord que [x-^ a)'"
peut se mettre sous la forme af" {\-\- Si l'on pose - = j, et qu'on développe (i -i-j)'", il suffira ensuite de
multiplier ce développement par or", puis de remplacer y par -5 et l'on
obtiendra le développement de [x -a^ a)"'.
(Cette transformation a pour objet d'éviter dans le calcul les puissances j?", jf'~\. . . du premier terme x.)
Ceci admis, soit d'abord m égal à un nombre positif- [rj pouvant être
égal à I, ce qui donne le cas de l'exposant entier). Posons
(,) (, ^yf} = I + Aj+ B/+ Cj^H- D/ + . . . .
(On est conduit à donner cette forme au développement, par la formation des premières puissances entières, et en observant que, pour^)'= o, le premier membre se réduit à i ; d'oia il suit que la partie indépendante de 7, dans le second membre, doit être égale à i.)
Pour déterminer les coefficients A, B, C, D, . . . , remplaçons, dans l'équation (i), j' par z; elle devient
(2) (i-i- z)7.— i-t- Az H- Bz--t-Cz'+ Dz'-f-....
(A, B, C, . . . ont ici évidemment les mômes valeurs que ci-dessus, puisqu'ils sont indépendants de toute valeur attribuée à j.) Retranchant ces deux équations l'une de l'autre, on trouve
(3) ^ •;n-j)?~(i-^z)7= A(j-z)H-Bfr'- z')
Faisons, pour le moment,
(H-J)7=«, (i-hz.)7=p; ce qui donne
1+ j = «', i-i- z — v''; d'oii j- — z ~ ui— c' ;
l'équation (3) devient alors
ou, divisant le premier membre par a'' — vp, et le second par j — -, (jji est égal à «' — c'',
„p- il' __ Xjx — z) -f- B(.r'- z'] -^ C(.)-'— z'] -f- Df r — s' ) -f-. . . «■ — ("~ j'—z
Or, d'après le théorème (31), uP— cp est divisible par u — i>; et l'on obtient pour quotient correspondant,
De même, «' — c' : « — c est égal à
D'un autre côté, jr— z, j'— z^,j^ — ^Sj* — 2;*, . . ., divisés parj— a, donnent aussi, pour quotients respectifs,
ainsi l'équation (4) revient à — ; -^ ^— — ; —T = A H- B r -)- z -+- C r^ + rz -t z-]
H- D ( J^ -t- J) 'z H- jz' -H z' ) 4- . . . .
Faisons maintenant j= z, d'où l'on déduit « = c [d'après les équations
(n-7)7=«, [i-i- zyj=v];
DÉMONSTRATION DE 'lA FORMULE DD BINÔME, ETC. sSg
«n a, pour le premier membre,
p w Tj-^^ "" ^ lu'
p Si l'on remet à la place de «^ sa valeur (r h-j')7 ou
• i + Ar+ Bj=+C/-i-...,
et à la place de «' sa valeur i + j, ce premier membre devient encore
p T H- A j H- Bf ■+- Cy -+-...
D'ailleurs, le second membre se réduit à
A -+- 2Bj-i- SCj^'w- 4Dj'-f-. . ., on a donc la nouvelle équation
' ■■ ■- = A H-aBr-f- 3Cr^^- 40}^-+-. . ,
d'où chassant le dénominateur i -f-j, et effectuant les calculs,
P Ti,^ . P
A + aB
J-3C -i-aB
Comparant (180) les deux membres de cette équation identique, on obtient les égalités suivantes :
P = k, ou A = P',
^A = 2B-f-A, 9.B^A(2-ij; donc B == 7 \7 y
^B = 3C-^2B, 3C = B('^-2\; donc C =
^C=4Dh-3C, /iD^c(^—3\; donc D = et ainsi de suite.
Bf'::-
afo CUAPITUE V.
La loi de formation des coefficients successiTs est manifeste. Soient N le coefficient qui en a n avant lui, et M celui qui le précède ; on aurait évidemment
^ M = N/z + (/7 - i)M ; d'où N =. ^'^
En reprenant la démonstration précédente, on s'assurerait facilement qu'elle s'applique au cas où l'on a </ = i. c'est-à-dire au cas où Texposant est entier.
Quant au cas où m est égal à un nombre fractionnaire négatif — -i
on suit absolument la même marche que précédemment; mais, parvenu à l'équation qui correspond à l'équation (4), savoir
on remarque que
I I vf—uv uP—vP
Ainsi, en divisant le premier membre par a''— t^', et le second par r — c, qui est égal à u'' — c', on a
I iiP—i
■p Afr-z^H-B(,>--.^^)
u^vp II''— (''' y — =>
ou, supprimant le facteur « — c et le facteur j>' — :;,
I j/P-'-!-(ViP-'H-...— cP-'
faisant ensuite y — r-, d'où u = «', on obtient
' : =— - -- = A-i-2Br-^-3 C > ^ -T- . . . .
Le reste du calcul est absolument semblable à celui du cas précédent. Maintenant, puisque l'on a, quel que soit m,
m — I , (i ^yf' = I -^ my -4- m — —~f + . . . ,
remplaçons / par - et multiplions par af' ; il vient af"\\ +
NOTIONS SLR LES SÉRIES RÉCURRENTES. 26 1
OU
{x -■- aT^ af"-^ maaf-^ -h m ■ — '^— a^.z"'-^ h-
Ainsi la formule du binôme est démontrée généralement.
183. Bes séries récurrentes. — Le développement des fractions algébriques rationnelles d'après la méthode des coefficients indéterminés donne lieu à des séries d'une nature particulière connues sous le nom de séries récurrentes.
Nous avons déjà vu (179) que l'expression -; -p- a pour développement
^ ah' alP , ajy^ ,
ci'~ ./^-^"^ a'^"" ^-4-^ -•••»
série dans laquelle on forme chaque terme au moyen du précédent, en
multipliant celui-ci par , x.
Cette propriété n'est pas particulière à la fraction proposée; elle appartient à toutes les fractions algébriques rationnelles, et elle consiste en ce que,
Toute fraction rationnelle en x, réduite en série, donne lieu à une suite de termes dont chacun est égal à la somme algébrique cVun même nombre de termes précédents, multipliés respectivement par certaines quantités constantes, pour toute Vétendne de la série.
L'ensemble des constantes par lesquelles on doit multiplier un certain nombre de termes précédents pour former un terme quelconque s'appelle ïéchelle de relation de la série.
Dans la série précédente, Y échelle de relation est
et la série est dite une série récurrente du premier ordre. Soit à développer en série l'expression
a -i- bx -{- cx^
a'-i- b'x -h c'x--h d' .v^ Posons
a-\-bx~cx' . „ ,. 7 T-v j T- ,
262 niAPITUE V.
d'où, chassant les dénominateurs et transposant,
Aû'-f- Bn'
X ~- Cn'
x'-^Da'
- « -t- kb'
H- Ce'
-1- Ac'
H-Br'
^Cc'
-f-Arf"
ce qui donne les équations
A« — a — o , d ou A = — ,7
Ba -h Ab — b :^ o, B -^ ■ A h- -, y = r^ 1
Crt'^- BZ» -f- Ac'— c = o, C = iB ,A.-^ — ,c,
ab''^ —ha'b' — nci c' -^ ra"
Da'-r-Cb'-^Bc'-^kd'^ o, D - — -'c - -,B --, A,
Ea'-^Db'-^Cc'-^Bd'-^'O, E= - -,D - -,C - -, B,
D'où l'on voit que les trois premiers coefficients s'obtiennent d'abord sans
aucune loi ; mais, à partir du quatrième, chaque coefficient se forme de la
somme des trois coefficients qui le précèdent, multipliés respectivement
b' c' par ,5 ,
—, 5 savoir : ; pour le coefficient qui précède im-
c' cV médiatement, , pour celui qui précède de deux rangs, et -, pour
celui qui précède de trois rangs; ainsi les coefficients A, B, C, D, ... forment déjà entre eux une svhe récurrente dont Xéchelle de relation se compose de
Il résulte de cette loi de formation des coetncients que le quatrième terme de la série. Do.', est égal à
*'c^'--^Bx'--^'Aa:>, a' a' a
KOTIONS SUR LES SÉniES RÉCURRENTES. 203
OU bien,
,x L.r" , .r- Bx — —,ar A.
On a de môme, pour le terme Ex\
ou bien
,x \)x^ ,x^ Cx^ ,x^ Bx\
et ainsi de suite. •
Donc, chaque terme de la série demandée, à partir du quatrième, est
égal à la somme des trois termes précédents, multipliés respectivement
/' b' c' , ri' par I ,x, , x^
Quant aux trois premiers termes A -f- Bx -^ C.r', on les obtient en remplaçant A, B, C, par leurs valeurs obtenues ci-dessus.
484. On divise les séries récurrentes en différents ordres; et l'ordre s'estime par le nombre des termes nécessaires pour former un terme quelconque
Ainsi , l'expression -r — rr- donne lieu à une série récurrente du pre- '^ a -h 0 X
mier ordre, dont l'échelle de relation est — , x.
L'expression -; rr — , ■.. donnerait lieu à une série récurrente du
second ordre, dont l'échelle de relation serait
La série obtenue dans le numéro précédent est du troisième ordre. En général, une expression de la forme
a -h bx -+- cx"^-^ . . .-h Ax"~*
a' -\- b' X -i- c' X' + .,.-+- k' af
donne naissance à une série récurrente du «'"""" ordre, dont l'échelle ùz relation est
264 CHAPITRE V. — NOTIONS SUR LES SÉRIES RÉCURRENTliS.
N. Ji. — Nous supposons ici que le degré de x soil moindre au numérateur qu'«u dénominateur. S'il en était autrement, il faudrait d'abord faire la division en ordonnant par rapport aux puissances ascendantes de X, ce qui donnerait un certain quotient entier par rapport à x^ plus une fraction semblable à la fraction ci-dessus.
Ainsi, soit l'expression
5 X H- 3 uC* — jt'
x^^ ^x^—'bx^— X -ï-i ] ~ x'^—Zx^— 5x -+- ja? — 8.r--+- x j — X — 'j
En effectuant la division, on trouve pour quotient — a: — 7, et pour fraction complétant ce quotient
iS.r''— 34.r -f- i5 i5 — 34x -+- i3a:"-
— or^ -h 3ar^ — 5 X -(- 2 1 — 5 .r -f- 3 .r^ — x"^
La propriété énoncée au n° 183 souffrirait d'ailleurs des modifications, si le numérateur était d'un degré plus élevé que le dénominateur.
Nous reviendrons plus loin sur ces sortes de séries, qui offrent plusieurs questions intéressantes à résoudre
