THÉORIE DES PROGRESSIONS ET DES LOGARITIBIES

Ce nouveau Chapitre se lie naturellement à celui qui précède, tant parce que le premier paragraphe a pour objet l'examen des propriétés de deux espèces de séries, que parce qu'il offre une application immédiate de la théorie des exposants d'une nature quelconque ; il complète aussi les connaissances algébriques absolument indispensables pour l'étude de la Trigonnmétrie et de \ Application de V Algèbre a la Géométrie .

§ P^ — Des progressions par différence et des progressions

PAR quotient.

Progression par différence (*).

i8o. On appelle progression par différence (ou arithmétique] une suite de termes dont chacun surpasse celui qui le précède, ou en est surpassé, d'une quantité constante que l'on appelle raison ou différence de la progression.

Ainsi, soient les deux suites

I, 4, 7) lo, i3, i6, ig, 22, 25,..., 6o, 56, 52, 48, 44, 4o, 36, 02, 28,....

La première est dite une progression croissante dont la raison est 3, et la seconde une progression décroissante dont la raison est 4-

Désignons, en général, par a, b, c, d, e,f,... les termes d'une progression par différence; elle s'écrit ainsi

7 a.b.c.d.e .f.gji.i.k. . .,

et devrait s'énoncer : Comme a est à b, b est à c^ c est à r/, d est à e,...; mais on dit simplement, a est à b est à c est à d est à e.. , .

(*) Quoique la plupart des propriétés relatives aux progressions par clifférence et par quotient aient été développées dans notre Arithmétique, nous croyons devoir les reproduire ici, afin de présenter un ensemble complet de ces propriétés.

266 CDAPITRE VI.

C'est une suite à' équidiffr ronces continues, où chaque terme est à la fois conséquent et antécédent, à l'exception du premier, qui n'est (\\x\unccèdent, et du dernier, qui n'est que conséquent.

186. Appelons r la raison de la progression, que nous supposerons croissante dans tout ce qui va suivre. (Si elle était décroissante, il subirait de changer r en — r dans les résultats.)

Cela posé, on a évidemment, d'après la définition de la progression,

A = a-f-r, c = b -\- r = a ->r- 'xr^ d ^ c -^ r =^ a -r- "ir,. . .\

et, en général, un terme de rang quelconque est égrd au premier, plus autant de fois la raison qu'il y a de termes avant celui que l'on considère. Ainsi, soient / ce terme et n le nombre total des termes, jusqu'à celui-ci inclusivement; on a, pour ce terme général,

En effet, soit fait

on retrouve successivement tous les termes de la progression. Si la progression était décroissante, on aurait, au contraire.

La formule (i) sert à trouver un terme de rang quelconque, sans qu'on soit obligé de déterminer d'abord ceux qui précèdent. Ainsi, pour trouver le cinquantième terme de la progression

on fait n ~ 5o, ce qui donne

187. Une progression par différence étant donnée, on peut se proposer de

Déterminer la somme d'un certain nombre de termes.

Soit la progression ^ a. b.c. d. cf.. .i.k.l, prolongée jusqu'au terme / inclusivement; désignons par n le nombre des termes et par r la raison.

Remarquons d'abord que, si x désigne un terme qui en a p avant lui, et r un terme qui en a/> après lui, on a, d'après ce qui vient d'être dit, les égalités

d'où Ton déduit, en les ajoutant,

ce qui démontre que, dans toute progression :

La somme de deux fermes quelconques pris à égale distance des extrêmes est égale à la somme des extrêmes ; ou bien encore, les deux extrêmes et deux termes pris à égale distance de ces extrêmes forment une équidifférence dans l'ordre où ils sont écrits.

Ceci admis , écrivons de la manière suivante la progression au-dessous d'elle-même, mais dans un ordre inverse :

Appelons S la somme des termes de la progression proposée ; 2 S sera la somme des termes des deux progressions, et l'on aura; en réunissant les termes par colonne verticale,

aS =// — /) -i- (è -1-X-; -i- (c -i- /;-!-...-;-(/ -I- c) -+-(X- + Z> ]-}-(/ -^ ^);

ou bien, comme toutes les parties a -^ l, b -:- X-, en-/,.., sont égales et en nombre «,

aS = (« -T- /) «; donc, enfin,

c'est-à-dire que la somme des termes d'une progression par différence est égale au produit de la somme des extrêmes multipliée par la moitié du nombre des ternies.

Si, dans cette formule, on remplace / par sa valeur a -1- [n — i)/-, on obtient encore

[•ia-^[n — \)r'\n^ 1 '

mais la première expression est la plus usitée.

Applications. — On demande la somme des 5o pre/niers termes de la progressl)n ra.g.iG.aS.So....

On a d'abord, pour le 5o* terme

donc

268 cnAPiruE vi.

On trouverait de mômCj pour le loo* terme

/ = 2 -H 99.7 = 695; et, pour la somme des 100 premiers termes

188. Les formules (i) et (2) renferment cinq quantités, a, r, /?, ! et S, et, par conséquent, donnent lieu à ce problème général :

Trois fjuelconqiies de ces cinq quantités étant données, déterminer les deux autres.

Ce problème se subdivise en autant de problèmes particuliers que l'on peut, avec cinq lettres, former de combinaisons différrntes 2 à 2, ou 3 « 3. Or, on a obtenu (147) pour ces nombres de combinaisons

— ^^ et —

Faisant, dans ces formules, m ~ 5, on trouve

■ ou 10, et :, — ou 10:

d'où l'on voit que cinq lettres combinées trois à trois donnent le même nombre de combinaisons que cinq lettres combinées deux à deux. (Ce résultat s'accorde avec la conséquence du n" 130.)

Ainsi, le problème ci-dessus se subdivitsC en dix problèmes particuliers, dont voici les énoncés.

Étant donnés :

trouver

Le premier problème est déjà résolu, puis les deux formules donnent immédiatement / et S en fonction de <?, /•, //. Quant aux suivants, leur

résolution n'offre aucune difficulté; mais nous engageons les commençants à les traiter successivement, cet exercice étant très-propre à les familiariser avec la résolution des équations du premier et du second degré; car (il est bon d'en faire la remarque), bien que les quantités a, r, /?, / et S ne soient affectées d'aucun exposant dans les deux formules, on est cependant conduit à résoudre une équation du second degré lorsque a et n, ou bien / et /?, sont inconnues; parce que ces quantités entrent à la fois dans les deux équations, et sont multipliées entre elles dans la seconde.

N. B. — Il est aisé d'expliquer pourquoi, dans ces deux problèmes, la détermination de chacune des inconnues doit dépendre d'une équation du second degré.

Soit, en effet, la progression décroissante

Tii.9.7.5.3.1. — I.— 3.— 5. . . .

On voit que la somme des trois premiers termes, aussi bien que la somme des neuf premiers, est égale à 0,7. Donc, si l'on donnait

et qu'on demandât / et /?, on devrait obtenir les deux systèmes

/ = 7, rt - 3, et / = — 5, /? — . g •

donc la détermination de «, par exemple, doit dépendre d'une équation du second degré.

189. Nous nous bornerons à résoudre le quatrièm.e problème : c'est le cas où :

Connaissant a, n et l, il s"" agit de déterminer r et S. La formule l — a ■+- [n — 1) r donne

et la formule S = — fait connaître immédiatement S.

De la première expression, r — , on déduit la solution de cette

question :

Insérer entre deux nombres donnés a et b un nombre m de moyens différentiels. (On appelle ainsi des nombres compris entre a et b, et formant avec ceux-ci une progression par différence.)

Pour résoudre cette dernière question, il suffit de déterminer la raison; or, en remplaçant, dans la formule ci-dessus, / par b^ et n par [m -+- a).

a^O CnAPITRE VI.

qui exprime actuellement le nombre total des termes, on trouve

b — a h — 5 ou r —

c'est-à-dire que In raison de la progression cherchée s'obtient en divisant la différence des deux nombres donnés a et b par le nombre des termes à insérer, plus i .

La raison une fois obtenue, on forme le second terme de la progression,

ou le premier moyen différentiel, en ajoutant r ou au premier

terme a\ le second moyen s'obtient en augmentant celui-ci de r; et ainsi de suite.

Soit à insérer 12 moyens différentiels entre 12 et 77.

On a

ce qui donne la progression

Conséquence. — Si, entre les termes consécutifs d'une progression par différence, considérés deux à deux, on insère un même nombre de moyens différeniieh, ces termes et les moyens différentiels réunis ne forment qu'une seule et même progression.

En effet, soient -.a.b.c.d.e.f... la progression proposée, m le nombre des moyens à insérer entre a et è, entre /v et c, c et r/,. . . .

La raison de chaque progression partielle sera, d'après ce qui vient d'être dit, exprimée par

quantités toutes égales, puisque a, b, c. . . sont en progression : ainsi la raison est la même dans chacune des progressions partielles ; et comme d'ailleurs le dernier ternie de la première est le même que le premier terme de la seconde, et ainsi de suite, on peut conclure que toutes ces progressions partielles constituent une progression unique.

ino. Voici les énoncés de quelques problèmes :

Première question. — Déterminer le premier terme et le nombre des termes d'une progression par différence dont la raison est 6, le dernier terme i85, et la somme 2945.

Réponse. Premier terme = 5, nombre des termes = 3i.

Deuxième question. — Insérer entre deux quelconques des termes de ta progression t2.5.8.ii.i4---5 neuf moyens différentiels. Réponse. Raison, ou r = o,3.

Troisième question. — Trouver le nombre d'hommes contenus dans un hatadhn triangulaire dont le premier rang est i, le second est 2, le troisième est "i, et le n'^"" est n. En d'autres termes, trouver l'expression de la somme des nombres naturels i, 2, 3,. . ., depuis 1 jusqu'à n.

p. c n{n~-\) Réponse . 0=

Ou.\TRiÈ.ME QUESTION. — Trouver la somme des n premiers termes de la piogression des nombres inqjairs ï, 3, 5, 7, g,. . . .

Réponse. S = n^, ou le carré du nombre des termes.

Cinquième question. — Un monceau de sable est distant d'une allée d'arbres de qo mètres; elle exige, pour être sablée, 100 voitures, à 6 mètres d'intervalle l'une de Vautre. — On demande le chemin que le voiturier doit faire, la pretnière voiture étant déposée à 40 mètres du monceau de sable, et la voiture devant, à la fin, revenir à l'endroit d'où elle était partie.

Réponse. 67 4oo mètres.

Sixième question. — Un fantassin fait 10 lieues par jour ; un cavalier part en même temps, et ne fait ([ue 3 lieues le premier jour ; mais, charpie jour suivant, il fait 1 lieues de plus que le précédent. — On demcmde en combien de jnurs le cavalier atteindra le fantassin, et combien ils auront fait de chemin chacun.

Réponse. Nombre de jours, 8; chemin, 80 lieues.

Des progressions par quotient.

191. On appelle progression géométrique on par quotient une suite de termes dont chacun est égal au produit de celui qui le précède par un nombre constant que l'on nomme raison de la progression ; ainsi les deux suites

dont la première est telle, que chaque terme contient celui qui le précède deux fois, ou est égal au double de celui qui le précède, et dont la seconde est telle, que chaque terme est contenu dans celui qui le précède

272 CHAPITRE YI.

quatre fois, OU est égal au quart de celui qui le précède, sont dites des

progressions par quotient ; la raison est 1 pour la première, cl - pour ia

seconde.

Soient r/, /;, c, <■/, e,... des non:ibres en progression par quotient; on l'écrit ainsi

et on l'énonce comme une progression par différence, quoiqu'il y ait cette distinction à faire, que l'une est une suite de différences égales, et l'autre une suite de quotients égaux, où chaque terme est à la fois antécédent et conséquent, excepté le premier, qui n'est qu antécédent , et le dernier, qui n'est que conséquent.

192. Désignons par q la raison de la progression [q étant > i lorsque la progression est croissante, et < i lorsqu'elle est décroissante) \ on déduit de la définition même la série des égalités

b — aq, c ^^ bq = aq'', d = eq = aq^, c z= dq = aq\ ... ;

et, en général, soient / un terme de rang quelconque, n le nombre total des termes, on a la formule

(i) l^aq-~\

au moyen de laquelle on peut obtenir la valeur d'un terme quelconque, sans passer par tous les termes qui précèdent. Par exemple, le huitième terme de la progression

est égal à

De même, le douzième terme de celle-ci :

HG4: 16: 4:t:--

est égal à

a4Uy = ^='

193. Soit maintenant proposé de déterminer la somme des n prenne, termes de la progression

^. a : b : c i d '. e : f : . . . i : /i : Cy l désignant le n'"'" terme.

On a (i92) les égalités /

b = aq, c = hq^ d = cq^ e = dq,. . . , k ^:^ iq ^ / = hq ;

d'où l'on déduit, en les ajoutant membre à membre,

b -^ c -{- d -\- c -^ . . .-^ h -\- l = {n -^ h ^ c -^ d -\- . . .-^ i -^ h]q\ ou bien, représentant par S la somme demandée,

S — « = {S — l](l = 'è<J — Iq^t ou S (7 — ?) = Iq — a; donc

c'est-à-dire que, pour obtenir la somme d'un nombre déterminé de termes d'une progression par quotient, il faut multiplier le dernier terme par la raison, retrancher du produit le premier terme, et diviser la différence par la raison diminuée d'une unité.

Lorsque la progression est décroissante, on a «7 < i, / < «; et il convient de mettre la formule ci-dessus sous la forme

afin que les deux termes de la fraction soient positifs.

Les deux expressions de S deviennent encore, par la substitution de a^""' à la place de /,

g^«(£-0^ et S = ^îil=^^.

On'trouvera, d'après les formules précédentes :

1° Pour la somme des huit premiers termes de la progression

H 2 : 6 : 18 : 54 : ..• : 2 X 3' ou 4374)

Iq — a i3i2a — 2

2° Pour la somme des douze premiers termes de la progression

Me. B. 18

On voit que la difficulté principale consiste à déterminer la valeur numérique du dernier terme, opération très-laborieuse lorsque le nombre des termes est considérable.

fi[(f^ — Il 194. Remarque. — Si dans la formule S = —^ ; on suppose y = i ,

elle devient

Ce résultat, qui est quelquefois le symbole de l'indétermination, provient souvent aussi (73) de l'existence d'un facteur commun qui devient nul par une hypothèse particulière faite sur les données de la question. C'est, en effet, ce qui a lieu dans cette circonstance; car on sait (31 ) que l'expression cf —i est divisible par ç — i, et donne pour quotient

Si l'on effectue cette di\ision, la valeur de S prend la forme

S = aq"' ' -i- aq"~^ ^- aq"'^ -^. . .^ aq -^ a;

d'où, faisant maintenant </ = i,

S = a-i-a-h-a-^...-i-a— nn.

On peut parvenir au même résultat en remontant à la progression proposée

qui, dans le cas de y = i, se réduit à

série dont la somme est égale à na.

19o. Des progressions infinies par quotient, — Soit une progression décroissante

d'un nombre infini de termes.

La formule S = — peut être mise sous la forme

l-ry

nq"

Or, puisque la progression est décroissante, q est une fraction: q" est aussi une fraction qui sera d'autant plus petite que n sera plus grand : ainsi;