DES PROGRESSIONS INFIMES PAR QUOTIENT

plus on prendra de termes dans la progression, plus -— — x 7" diminuera; plus, par conséquent, la somme partielle de ces termes approchera de devenir égale à la première partie de S. Enfin, si Ton prend pour n un nombre plus grand que toute grandeur donnée, ou l'on suppose « = 00 , X (7" sera moindre que toute grandeur donnée, ou

deviendra égal à o ; et l'expression

représentera la valeur de toute la série.

D'où l'on peut conclure que :

Ln somme des termes d'une progression droite à Vinfini a pour expression

C'est, à proprement parler, la limite vers laquelle tendent sans cesse toutes les sommes partielles que l'on obtient en prenant un nombre de termes de plus en plus grand dans la progression. La différence entre ces

sommes et — — peut devenir aussi petite que l'on veut, et ne devient

tout à fait ?7idle que lorsque l'on prend un nombre infini de termes. Applications. — Soit la progression décroissante à l'infini

On a, pour l'expression de la somme des termes,

L'erreur que l'on commet en prenant cette expression pour la valeur de la somme des n premiers termes est marquée par

Soit d'abord « = 5 ; il vient

276 CHAPITRE Vr.

Pour n — 6, on trouve

i\z) ~TGâ 3 ~ 486*

D'où l'on voit que Xerreur commise lorsqu'on prend - pour la somme

d'un certain nombre de termes est d'autant plus petite que ce nombre est plus grand.

Soit encore la progression

On a

1,1.1, I , I 2 ' 4 8 ■ iG ■ 32 ■ '

■196. L'expression S = peut être obtenue directement d'après la

progression

'ri (i:h : c : cl '. e \f: g; .

Reprenons les équations h = aq^ c — hq^d — cq, e = dq^ . . . , dont le nombre est indéfini, et ajoutons-les membre à membre: il vient

b-\-c-^d-J!-e-\-...= [a-rb-\-c-^-d-^...)q.

Or le premier membre étant évidemment la série proposée, diminuée du premier terme a, a pour expression S — «; le second membre est égal à q multiplié par la série tout entière, puisqu'il n'y a pas de dernier terme, ou que ce dernier terme est nul, en tant que la série est décroissante à l'infini; l'expression de ce second membre est donc qS, et l'égalité ci-dessus devient

S — a = qS, d'où S =

Et, en effet, si l'on développe en série, par le procédé de la division, on trouve le résultat indéfini, a -{- aq -h aq^ -\- aq^ -h . . . , qui n'est autre que la série proposée, lorsqu'on y remplace b, c, d,. . . par leurs valeurs en fonction de fi.

Autrement encore. — Soit la progression

't^. a', aq '. aq'^ \ aq^ : . . ., et posons

S = « -f- <7<7 4- aq'^ -H aq^ -l- aq'^ ■+- aq^ -1- ... ;