DES PROGRESSIONS INFINIES PAR QUOTIENT

d'où, multipliant les deux membres par f/,

qS = aq -h aq- -f- aq^ -+■■ aq^ -+- nef' + . . . . Retranchons ces deux équations membre à membre, il vient

S — (78 = 0; donc, enfin, S=- ■•

197. Lorsque la série est croissante, l'expression S = ne peut

plus être regardée comme une limite des sommes partielles ; car la somme d'un nombre déterminé de termes étant (195)

a nq"

la seconde partie — - — augmente de plus en plus numériquement à mesure que n augmente, c'est-à-dire qu'au contraire, plus on prend de termes, plus l'expression de la somme de ces termes diffère numériquement de •

La formule S = est seulement, dans ce cas, l'expression algébrique qui, par son développement, donne lieu à la série a -t- aq -+- aq^ -f- aif" -!- o . . .

Il se présente ici une circonstance qui paraît singulière au premier abord.

Puisque est la fraction génératrice de la série, on doit avoir

a -^ aq '\- aq -+- aq^ -i- aq^ -t- . . . .

Or, en faisant dans cette égalité « = i, «7 = 2, on trouve

ou — i = i-t-2 -h 4 + 8-1-16-)- 32 -+-...,

équation dont le premier membre est négatif, tandis que le second semble positif, et d'autant plus grand que 7 est lui-même plus grand.

Pour interpréter ce résultat, observons que si, dans l'équation ci-dessus, on arrête la série à un certain terme, il faudra, pour que l'égalité subsiste, compléter le quotient.

Ainsi, en s'arrCtant, par exemple, au quatrième terme «7',

i" reste -+- aq

3" ~ nri^

4* + aq*

a -\- aq -\- aq' -f- aq -f — ■ — j

<7fif

on doit ajouter au quotient obtenu l'expression fractionnaire — - — , ce qui donne rigoureusement

Si maintenant on (àii, dans cette équation exactea= i, </= 2, il vient — i = i+-2-i-4-+-8 — 16,

égalité qui se vérifie d'elle-même.

En général , toutes les fois qu'une expression en x, que nous désignerons par /(x), et qui s'énonce fc/iction de x, est développée en une série de la forme.

a -h bx -h cx"^ -f- dx^ -f- . . . ,

on n'a rigoureusement

f[x)=^a-it-hx-^cx^-^(lxi^-ir-...,

qu'autant qu'on conçoit, en s'arrêtant à un certain terme dans le second membre, la série complétée par une autre expression en x.

Or, lorsque la .série est du nombre de celles que l'on nomme conuergentcs, l'expression qui sert à la compléter peut être conçue aussi petite que l'on veut; et il est permis de la négliger au delà d'un certain terme de la série (*), laquelle fournit alors une valeur approchée de la fonction proposée.

198. Remarque. — Nous terminerons les principes relatifs aux progressions infinies par l'observation suivante : il résulte de la définition des progressions par quotient (191) qu'on peut les regarder comme des séries récurrentes du premier ordre, dont Véchclle de relation est la raison de la progression (184). Ce rapprochement est propre à faire connaître l'origine des progressions prolongées à l'infini. Elles doivent, comme les

(*) Voir, à la fin de ce Chapitre, une Note relative à la coii vergence des se- I ries.

DES PROGRESSIONS INFINIES PAR QUOTIENT. 27g

séries récurrentes en général , leur naissance au développement d'une fraction algébrique rationnelle en série. Nous avons donné (19o et 196) les moyens de trouver cette fraction génératrice pour les progressions en particulier. Nous verrons plus loin les moyens de résoudre la même question pour toutes les séries récurrentes.

199, La considération des cinq quantités a-, 7, /z, / et S, qui entrent dans les deux formulis (i) et (2) obtenues (192 et 193), donne encore lieu à dix problèmes particuliers dont les énonct's ne diffèrent des énoncés relatifs aux progressions par différence ( 1 88 ) qu'en ce que la lettre r est remplacée par q. Mais nous nous proposerons , comme pour les progressions par différence, de déterminer q et S. connaissant a, l et n.

Or la première formule donne

./- = -, dou 7= ^/-;

en reportant cette valeur dans la seconde formule, on obtiendrait la valeur des.

L'expression q = '\ - fournit le moyen de résoudre cette question :

Insérer entre deux nombres donnés a et h un nombre m de moyens proportionnels, c'est-à-dire m quantités formant avec a et Z», considérés comme extrêmes, une progression par quotient.

11 suffit, pour cela, de connaître la raison. Or, le nombre des termes à insérer étant //?, le nombre total des termes n est égal à /« -+- 2 ; on a d'ailleurs l ~ b. Ainsi, la valeur de q devient

c'est-à-dire qu'il faut :

Diviser les deux nombres donnés b et a Vun par Vautre, puis extraire du cjuotient une racine d'un degré marcjué par le nombre des termes à insérer, plus i .

La progression est alors

Ainsi, soit à insérer 6 moyens proportionnels entre les nombres 3 et 384. On a

^« = 6, dou 7 = 4 /— = v/i^S = 2;

aSo CHAPITRE VI.

co qui donne la progression

Nous ferons bientôt connaître des moyens plus expéditifs, dans les applications numériques, de calculer le nombre exprimé par q — 1 /-•

Nous ne nous arrêterons point à démontrer que :

Si entre les termes consécutifs dhine progression par quotient , considérés deux à deux, on insère un même nmibre de moyens proportionnels, toutes les progressions ainsi formées constituent une progression unique.

La démonstration est analogue à celle du n" 189.

200. Des dix problèmes principaux que l'on peut se propeser sur les progressions, quatre sont susceptibles d'être résolus facilement. En voici les énoncés, avec les formules qui y sont relatives :

1° «, <7, n étant donnés, trouver /et S,

/ = ,,-, 8 = ^^ = ^^^^:^-=^; 2° <7, 72, / étant donnés, trouver q et S,

3° q, n, 1 étant donnés, trouver a et S,

7 — {ja

4" 7, /?, S étant donnés, trouver a et /,

^S(7-0 Sry-(y-i)

Z)cwj: autres problèmes dépendent de la résolution d'équations d'un degré supérieur au second : ce sont ceux où l'on suppose inconnues les quantités a et y, ou bien / et </.

En effet, de la seconde formule on déduit

rt = /7 — S-7-4-S; d'oîi, substituant cette valeur de a dans la première / = a(f-\

i = ^lrj-Sq + S)q"-\

RÉSOLXJTION DE l'ÉQUATIOIS EXPONENTIELLE. 281

OU bien

équation du degré n que nous n'avons point encore appris à résoudre.

11 en serait de même si i'on voulait déterminer / et 7 : on parviendrait à l'équation

acp — S7 H- S — a = o.

201. Enfin, les quatre autres problèmes conduisent à la résolution d'équations d'une nature toute particulière : ce sont ceux où n est inconnu, ainsi que l'une des quatre autres quantités.

D'abord, la seconde formule donne aisément la valeur de l'une des quantités a, (/, / et S, en fonction des trois autres; ainsi, tout se réduit à déterminer n au moyen de la formule i — acf-"^.

Or cette égalité revient à

., tq

équation de la forme cf — b, a et ù étant des quantités connues.

On appelle ces sortes d'équations équations exponentielles , pour les distinguer de celles que nous avons considérées jusqu'à présent, et dans lesquelles l'inconnue est élevée à des puissances marquées par des nombres connus.

Occupons-nous donc de la résolution de ces sortes d'équations auxquelles se rattache une des théories les plus importantes des Mathématiques, la théorie des logarithmes.

§ IL — Théories des quantités exponentielles et des logarithmes.

Résolution de l'équation a^ = b.

202. La question consiste à trouver Yexposant de la puissance à laquelle il faut élever un nombre donné a, pour produire un autre nombre donné b.

Considérons d'abord quelques cas particuliers. Premier exemple :

En élevant 2 à ses différentes puissances, on reconnaît bientôt que 2"= 64, donc j? = 6 satisfait à l'équation. Deuxième exemple :

On a pour solution

En un mot, tant que b sera une puissance parfaite du nombre a, x sera un nombre entier, que l'on obtiendra par l'élévation de a à ses puissances successives à partir du degré o.

Troisième exemple :

En faisant or = 2 et x = 3, on trouve

2' = 4> et 2^ = 8 ;

d'où l'on voit que x a une valeur comprise entre 2 et 3. Posons donc

X = 2 H — ; fx' est alors > i).

On a, en substituant cette valeur dans la proposée,

2''""^ = 6, ou (172) 2=X2^'=6; donc 2^ = -,

et, par conséquent,

Pour déterminer x\ faisons successivement

on trouve

[-) ou -^2 et ^-j

Ainsi, x' est compris entre 1 et 2.

Posons donc

a:'=i-r-— (a:" est aussi >iî

On obtient, en substituant dans l'équation (2) cette valeur de x',

3 /3 2, ou - X -

ou, réduisant,

RÉSOLUTION DE l'ÉQUATION EXPONENTIELLE. 283

Pour x" = I et o;" = 2 , on a

Ainsi .r" est compris entre i et 2.

Soit donc

il en résulte

d'où, réduisant,

m (ir=i-

En opérant sur cette équation comme sur les précédentes, on trouverait que x'" est compris entre 2 et 3. Soit

l'équation en x"" devient, toute réduction faite,

Une nouvelle opération donnerait

et ainsi de suite.

Rapprochons actuellement les équations

et

lâS Jj ce •^

nous obtenons la valeur de x sous la forme d'une fraction continue, dont les réduites consécutives seraient, d'après la loi connue (voir Aritlim., 29' édit., 171),

Or, on sait que, dans une fraction continue, plus on prend de parties intégrantes, plus on approciie de la valeur du nombre réduit en fraction continue ; ainsi l'on pourra, par ce moyen, trouver la valeur de x propre à vérifier l'équation (i), sinon exactement, du moins avec tel degré d'approximation que l'on voudra.

Par exemple, la réduite — ne diffère [Jrithm., 172) de la valeur de x

que d'une quantité moindre que t-^ ou — • Mais l'approximation est

encore plus grande; car, en ayant égard à la réduite suivante, on voit que

l'erreur commise est moindre que -^ ou --• La réduite — ne dif-

fère de la vraie valeur de x que d'une quantité moindre que

ou X

203. La détermination de x dans l'équation précédente suppose que, pour toute équation de la forme a' — b^a étant > i, mais aussi peu différent de I que l'on veut, et, au contraire, b étant un nombre très-grand, il est toujours possible de trouver deux puissances consécutives de r/, qui comprennent le nombre b.

Pour le démontrer, posons

7 étant une très-petite fraction, et développons l'expression (1-1-7

d'après la formule du binôme (148) (// est ici supposé un nombre entier) ; il vient

' \ kj k 2 H^

Or, puisque le second membre se compose de i -+- -rj plus une suite de

fi

nombres positifs, il est clair que si l'on fait i -f- -7 > Z», ce qui donne

n>k[b-i), on aura, à fortiori

D'ailleurs, les premières hypothèses « = o, i, 2,... ont dû donner d'abord une certaine puissance de «, plus petite que b; donc b est nécessairement compris entre deux puissances consécutives de a. c. q. f. d.

RÉSOLUTION DE l'ÉQUATION EXPONENTIELLE. 285

20-i. Cela posé, voici en quoi consiste la métlinâe générale : Soit à résoudre l'équation cf—b, en supposant d'abord « et ^>i, mais a <__h.

En formant les puissances successives de a, on trouve que b est compris entre a" et a""^' ; alors on fait

substituant cette valeur dans l'équation proposée, on obtient

a -^ = o, ou «" X fi* = o, d ou ( — ) = «>

ou, posant, pour plus de simplicité, — = c,

c'' = a (c étant nécessairement < rt).

Opérant sur cette équation comme ci-dessus, on reconnaît que x' est compris entre n' et n' -\- \\ donc

substituant cette valeur dans l'équation en x\ on est encore conduit à résoudre une équation de la forme

d^ — c [il étant < c, et ayant pour valeur -^ j ;

et ainsi de suite.

La valeur de x se trouve ainsi développée en une fraction continue dont il ne s'agit plus ensuite que de former les réduites; et, en poussant convenablement la série des opérations, on obtient cette valeur avec tel degré d'approximation que l'on veut; ce degré pouvant toujours s'estimer, puisqu'il est marqué par le quotient de V unité divisée par le carré du dénominateur de la dernière réduite à laquelle on est parvenu.

20b. Remarques. — i° Si, dans le cas de û > i et Z» > i, on suppose b <a, comme on a

a'^i (24) et a' = a,

il s'ensuit que.r est compris entre o et i, et il faut commencer par poser

Cela revient à faire /? = o, dans le calcul précédent.

286 Cn\PITRE VI.

2" Lorsque l'on a c > i, mais ^ <i, la valeur de x est nécessairement < 0, ou négative ; ainsi, il faut poser

X — — y dans l'équation tf = b,

ce qui donne

a-''^b, d'où (171) «''= Tî

et comme on a y > i , on déterminera y d'après la méthode ci-dessus :

alors la valeur correspondante de x sera égale à celle de j, prise négativenicnt.

11 en serait de même si l'on avait « < i , mais 6 > i , Au moyen de ces remarques, l'application de la méthode n'offre aucune difficulté; seulement les calculs, pour donner un grand degré d'approximation, sont assez laborieux.

On peut, au reste, s'exercer sur les exemples suivants :

3' = i5, j: = 2,465 à o.ooi près; X = G, 477 à o,ooi près;

j: = o,25 à o,oi près:

X =0,53 à G, CI près.

On suppose ici que l'on ait converti en fractions décimales les réduites fournies par la méthode.

Conditions pour que x soit commensurable.

206. La méthode précédente conduit, tantôt à une fraction continue limitée, tantôt à une fraction continue qui se prolonge à V infini; ce qui donne pour x^ dans le premier cas, une valeur commensurable, et dans le second, une valeur incommensurable.

Cherchons quelle relation doit exister entre les deux nombres donnés a

et è, pour que x soit égal à un nombre commensurable — • Soient, en premier lieu, a et ô deux nombres entiers; on a l'équation

a" ~ b, que l'on peut mettre sous la forme

a'" = b\ Or il est évident que cette égalité ne peut subsister qu'autant que u et b

ig''

RÉSOLUTION DE l'ÉQOATION EXPONENTIELLE. 287

sont composés des mêmes facteurs premiers; car si l'on supposait dans b

un facteur premier qui ne se trouvât pas dans a, et qu'on divisât les

deux membres par ce facteur, le second membre serait un nombre entier,

et le premier un nombre fractionnaire, ce qui est absurde. Donc si l'on a,

par exemple,

a = xP&y'ô'^

on doit avoir aussi

h = aP'&'y^'ry.

En substituant ces valeurs dans l'équation a"' = b", on la change en celle-ci :

^mp ^niq ,^,nr ^ms ^p' f^nq- yir' §ns'

Mais cette nouvelle égalité exige que les puissances d'un même facteur premier soient égales dans les deux membres: car si elles étaient inégales, en divisant les deux membres par la plus haute puissance, on serait encore conduit à un résultat absurde.

On doit donc avoir séparément

mp = np', mq - - nq', mr =: nr\ ms - ns\

d'oîi l'on déduit

Ainsi, pour que la valeur de x soit commensurable, il faut et il suffit que a et b soient composés des mêmes facteurs premiers^ et que les exposants de ces facteurs forment entre eux une suite de rapports égaux.

Lorsque ces deux conditions sont remplies, la valeur de x est égale au rapport constant qui existe entre les exposants.

Supposons, en second lieu^ que a q\. b soient fractionnaires et égaux

à -^7 5 j7 (on ne saurait évidemment supposer a entier et b fractionnaire,

il n

ou réciproquement).

L'équation a!" = b" devient

j\ =ij,\^ d'où h'"/."'=h""A-".

Or, h et // pouvant toujours être regardés comme premiers entre eux, aussi bien que /i et A', il en eâl de même de h"" et k'"', A-" et Â'". Ainsi, pour que l'égalité précédente subsiste, il faut que l'on ait séparément h"" = j?-", h'"' = A'"; ce qui conduit à des conditions semblables à celles que nous avons établies ci-dessus, entre les numérateurs et les dénominateurs respectivement comparés entre eux.

N. B. — Si l'on avait jy > i , mais -p < i, ou réciproquement, il faudrait d'abord changer le signe de x dans l'équation exponentielle a^ z=h (ce qui reviendrait à renverser celui des deux nombres y,i pj que l'on

suppose <i, en conservant x positif); puis on établirait les relations précédentes.

207. Cas particuliers. — i° Si « et i, étant des nombres entiers, sont deux puissances différentes d'un même nombre premier, x est nécessairement commensurable.

Soit l'équation 4' = 3^, que l'on peut transformer ainsi

{2')"=2S d'où(lS8) 2'^ = 2*; il en résulte

2^ = 5, dou ^ = -'

Soit encore

27'= 2187, ou 3^' =3', on a

2° Si a liest composé que de facteurs premiers élci'és à la première puissance, il faut que b soit une puissance parfaite de a pour que x soit commensurable; en sorte que, dans ce cas, x est entier ou incommen surable.

En effet, soit

a = ag7^, d'où è =:: a^'o-'v'^cf^,

l'équation a'" — b" devient

d'où l'on déduit

pî = p'n — f/n = r'n — s'n ,

b = aP'e^'vP'cÎP'^ (a67^)P' ^ a^,

et, par conséquent,

Soit, par exemple

rt = 10 = 2 X 5,

il faut que b soit une puissance parfaite de lo pour que x puisse être commensurable.