Introduction. — Si l'on suppose que, dans l'équation
a conservant toujours une même valeur positive, on remplace y par tous les nombres absolus possibles, on pourra, pour chaque valeur de j, en appliquant la méthode du n° 20i, déterminer la valeur de x, sinon exactement, du moins avec un aussi grand degré d'approximation que l'on voudra.
Supposons d'abord a > i, et soit fait successivement
^ = o, I, 2, 3, 4, 5, 6,. . .. il en résulte
^=x, fl-, c/-, rt', rt', a% a'',,..;
donc toutes les valeurs de y plus grandes que l'unité sont produites par des puissances de a dont les exposants sont positifs, entiers ou fractionnaires; et la valeur de x est d'autant plus grande que celle de y est ellemême plus grande.
Faisons ensuite
il en résulte
I I I I I ' a a- cr a' a" '
donc toutes les valeurs de y plus petites que l'unité sont produites par des puissances de a dont les exposants sont négatifs ; et la valeur de x est d'autant plus grande, numériquement, que la valeur de y se rapproche plus de zéro .
Soit, au contraire, « < i et égal à une fraction — ; en faisant
on trouve
et, si l'on fait
^=0, -I, -2, -3, —4, -5,..., Alg. B.
CHàPITHB VI
on oblient
ou
I , «', fl'=,
c'est-ù-dire que, dans l'hypothèse de a<i, tous les nombres sont en- ^rnclrés avec les diverses puissances de a, dans un ordre inverse de celui qui résulte de l'hypothèse « > i .
On arrive ainsi à cette conséquence générale : lous les nombres absolus peuvent être engendrés avec un nombre absolu quelconque , mais constant, que Von élèrc à des puissances convenables.
N. B. — Il faut toutefois supposer a différent de l'unité, car on sait que toutes les puissances de i sont égales à i .
209. Cela posé, concevons que l'on ait formé une Table renfermant, d'une part, tous les nombres entiers, et à côté de ces nombres, les exposants des puissances auxquels il faudrait élever un nombre invariable, pour produire les premiers ; on aura l'idée d'une Table de logarithmes.
On appelle, en général, logarithme d'un nombre, l'exposant de la puissance à laquelle il faut élever un certain nombre invariable pour produire le premier.
Le nombre invariable peut d'abord être pris tout à fait arbitrairement (pourvu qu'il soit > ou < i) ; mais, une fois choisi, il doit rester le même pour la formation de la Table entière. On l'appelle, pour cette raison, base du système de logarithmes.
Quelle que soit la base que l'on a choisie, le logarithme de 1 1 base est limité, et le logarithme de i est o.
En effet, on a
1° a^ ~ a, d'où logrt=:i,
1° «"= I, d'où logi — o.
On désigne ordinairement, pour abréger, le mot logarithme par les trois premières lettres log^ ou simplement par la première lettre /, que l'on fait ordinairement suivre d'^'w point et du nombre que l'on considère. Voyons actuellement quel rôle peuvent jouer les logarithmes dans les calculs numériques.
210. Multiplication et division arithmétiques. — Soit d'abord une suite de nombres/, j', y", 7'",. . • à multiplier entre eux. Désignons par c 'a base d'un système de logarithmes (qu'on suppose déjà calculés), et pai r, r', x'\ x"\ ... les logarithmes de y, y', y", y'",
On a, d'après la définition (209), cette suite d'égalités :
THÉORIE DES L0GARITH3ÏES. 2qi
Multipliant ces égalités membre à membre, et appliquant la règle des exposants établie (472), on trouv
Donc
Jog.rr'j". . . = X -r- xV x"-\- ...-^ logjr -:- logj'-f- log r"^.. . ,
c'est-à-dire que le logarithme d'un produit est ^grdàla somme des logarithmes des facteurs de ce produit.
Soient, en second lieu, deux nombres, y et j-', à diviser l'un par l'autre, X et x' leurs logarithmes. On a encore les équations
y=(f, r' = a^'; d'ofi Ton déduit (J72)
Donc
log ^.--=x — x' = logj- — log j';
c'est-à-dire que le logarithme du quotient d'une division est égal à l'excès du logarithme du dividende sur le logarithme du diviseur.
Conséquences de ces deux propriétés. - Si l'on a une multiplication à effectuer, en prenant dans la Table les logarithmes des facteurs et faisant la somme de ces logarithmes, on aura le logarithme du produit ; donc, en cherchant ce nouveau logarithme dans la Table, et prenant le nombre 'qui lui correspond, on obtiendra le produit demandé. Ainsi, par une simple addition, on trouve le résultat d'une multiplication.
De même, si l'on a à diviser un nombre par un autre, il faut retrancher le logarithme du diviseur de celui du dividende, puis chercher à quel nombre correspond la différence : c'est le quotient cherché. Ainsi, par une simple soustraction, on obtient le quotient cVune division.
Formation des puissances et extraction des racines. — Soit, en général, un nombre/ à élever à la puissance ~- En désignant toujours par a la base, et par x le logarithme de jr, on a l'équation
d'où, élevant les deux membres à la puissance — ;
' ^= ni
2C)2 CDAPITRE VI.
Donc
c'est-à-dire que /^ logarithme d^une puissance quelconque d'un nombre est égal au produit du logarithme du nombre par r exposant de la puissance.
Soit, comme cas particulier, « = i ; il en résulte
\o%y'"= m\ogy,
équation susceptible d'un énoncé analogue au précédent.
Soit /« = I, n étant un nombre entier quelconque; il en résulte
logj« ou iogv(r=-log7;
c'est-à-dire que le logarithme cVune racine de degré quelconque d'un nombre est égal au quotient du logarithme de ce nombre divisé par r indice de la racine.
Conséciuence . — Pour former une puissance quelconque d'un nombre, il suffit de prendre le logarithme de ce nombre dans la Table, de le nmltiplier par l'exposant de la puissance, puis de chercher le nombre correspondant à ce produit; on a ainsi la puissance demandée.
De même, pour extraire une racine, il suffit de diviser le logarithme du nombre proposé par l'indice de la racine, puis de chercher à quel nombre correspond le quotient; on a la racine demandée. Ainsi, par une nndtiplication et une division généralement très-simples j on trouve le résultat d'une formation de puissance et d'une extraction de racine, opérations dont les procédés ordinaires sont, comme on l'a vu, très-laborieux.
211. Les propriétés qu'on vient de démontrer sont indépendantes du système particulier de logarithmes adopté ; mais les conséquences qui en ont été déduites, c'est-à-dire l'usage qu'on en peut faire dans les calculs numériques, supposent la construction d'une Table renfermant, d'un côté, tous les nombres, et de l'autre, les logarithmes de ces nombres, calculés d'après une base donnée. Or, pour former cette Table, il faut, comme nous l'avons déjà dit, en considérant l'équation «* = j, faire passer j- par tous les états de grandeur possibles, et déterminer la valeur de x correspondant à chacune des valeurs de y, d'après la méthode du n" 20 i.
Les Tables dont on se sert ordinairement sont celles dont la base est égale à lo; et leur construction se réduit à la résolution de l'équation io'=jr.
En faisant successivement f égal aux termes de la suite naturelle I, 2, 3, 4, 5, 6,..., on a à résoudre les équations
10"^=!, io'^ = 2, 10^^=3, IO'^=47----
Observons d'ailleurs qu'il suffit de calculer directement, d'après la méthode du n° 204, les logarithmes des nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, i3, 17,. . .; car, tous les autres nombres entiers résultant de la multiplication de ces différents facteurs entre eux, leurs logarithmes peuvent (210) s'obtenir par l'addition des logarithmes des nombres premiers.
C'est ainsi que, 6 étant décomposable en 2 x 3, on a
log 6 = log 2 -i- log 3 ; de même
24 = a^ X 3 ; donc log 24 = 3 log 2 -t- log 3.
Soit encore
36o = 2'x 3^x5; il en résulte
log36o = 3 log2 -t- 2 log3 H- log5.
Il suffisait également de placer dans les Tables de logarithmes des nombres entiers; car, en vertu de la propriété relative à la division, on obtient le logarithme d'un nombre fractionnaire en retranchant le logarithme du diviseur de celui du dividende.
212. En supposant déjà construite une première Table de logarithmes, il est facile d'en construire autant d'autres que l'on veut, au moyen de celle-là.
Soient, en effet, a la base d'un premier système déjà formé, b la base d'un nouveau système à construire ; désignons par N un nombre quelconque, par log N et par X ses deux logarithmes calculés d'après les bases « et Z* ; on a l'équation
d'où, en prenant les logarithmes des deux membres dans le système connu dont la base est «,
Xlog^ = logN;
donc
logN ~ log 6 *
Ce qui prouve que, connaissant le logarithme d'un nombre dans un prc-
2g4 CHAPITRE TI.
micr système, pour avoir le logarithme du même nombre dans un second système, il faut diviser le logarithme du nombre, calculé dans le premier système, par le logarithme de la nouvelle base, calculé aussi dans l'ancien système.
Ainsi le logarithme de 4, dans le système dont la base est 3, a pour
lo"'4 valeur ,— ^i log4 et log3 étant deux logarithmes calculés dans le système connu dont la base est lo.
Soient N, N', N", . . . une suite de nombres, a la base d'un système déjà formé, /; celle d'un système à construire; on a la série d'équations
'^~log6 ~logô'°° ' logé""--"'^' ^ log6'°=^'--"
d'où Ion voit qu'une première Table étant déjà formée, si l'on veut en construire une nouvelle, il n'y a qu'à multiplier les logarithmes du premier système par la quantité constante
Cette quantité constante est ce qu'on nomme le module do la nouvelle Table par rapport à l'ancienne.
§ IIï. — Usage des tables vulgaires.
Les développements que nous avons donnés en Arithmétique sur les deux problèmes principaux que prescrit l'usage des Tables [un nombre étant dojiné, trouver son Icgnrithme, et réciproquement) nous dispensent d'entrer d^ms de nouveaux détails à cet égard. Nous nous bornerons donc à reprendre quelques principes qui n'ont pas été démontrés d'une manière assez générale, en supposant d'ailleurs que les jeunes gens aient entre les mains les Tables de Callet, qui sont poussées jusqu'à 108000, tandis que les petites Tables ne s'étendent pas au delà de 10 000.
213. On a déjà vu (207) que, dans le système dont la base est 10, il n'y a que les puissances parfaites de 10, telles que 10, 100, 1000, . . . , qui puissent avoir des logarithmes commensurables ; tous les autres nombres entiers ont des logarithmes incommensurables , que l'on ne peut obtenir qu'avec un certain degré d'approximation. Les Tables de Callet donnent C'.^s logarithmes exprimés en fractions décimales, et exacts jusqu'au n" chiffre décimal, inclusivement.
Cela posé, dans l'équation 10'' — y, faisons
