USAGE DES TABLES TULGAIRES

/, /', /", /'", . . . étant des logarithmes, les uns à ajouter, les autres à soustraire.

L'expression peut d'abord être mise sous la forme

/'+/"+ r-H (10—/') -t- (10— /'") H-^lo — /") — 3o,

ou bien,

/ -+- /"h- r -r- comp. /'-t- comp. /'"-f- corap. /'"— 3o;

c'est-à-dire que, pour avoir le résultat cherché, il faut faire la somme des logarithmes additifs et des compléments des logarithmes soustractifs, puis jet ranc lier de cette somme autant de fois 10 cjuc l'on a pris de compléments.

Par le moyen ordinaire, il faudrait faire la somme des termes additifs, celle des termes soustractifs, puis soustraire la plus petite somme de la plus grande, ce qui entraînerait dans deux additions et une soustraction ; tandis que par celui-ci on n'a qu'une seule addition à effectuer, sauf les opérations qui consistent à prendre les compléments et qui sont trop simples pour entrer en ligne de compte.

216. L'emploi des compléments donne naissance à une forme de logarithmes qui est assez commode dans la pratique.

Soit proposé de trouver le logarithme de —j •

On a

log -^ = log 7 — logi5 = log7 -i- comp.logi5 - \q.

log 7 = 0,84509804 comp. log i5 = 8,82890874

retranchant lo — 0,33099822

Le résultat de l'addition de comp. log i5 avec log-; étant 9,66900678, pour en retrancher 10, on peut s'y prendre de deux manières : ou bien soustraire ce résultat de 10, et affectant le reste du signe — , ce qui donne — 0,33099822 ; ou bien retrancher 10 de la caractéristique 9, sans altérer la partie décimale, ce qui donne i ,66900678, c'est-à-dire un logarithme dont la caractéristique seule est négative, la partie décimale restant positive.

298 CîuriTRE v:.

Pour le distinguer d'un logarithme entièrement négatif, on doit avoir le soin de placer le signe — au-dessus de la caractéristique (*).

Il serait plus clair de l'écrire ainsi : — i -t- 0,66900678, car voilà fa véritable signification ; mais l'autre manière est plus abrégée.

On est encore conduit à cette espèce de logarithmes cii cherchant !e logarithme d'une fraction décimale.

Par exemple,

logo, 00534 = log534 — 5 =- 2,727.54126 — 5 - 3,72754 J2fi"

Nous verrons bientôt que l'usage de ces logarithmes offre quCiqucs avantages sur celui des logarithmes entièrement négatifs.

Observons, pour le moment, qr.e :

1" Si l'on avait à déterminer le nombre qui correspond à un logaiilhrre de cette espèce, la simple addition d'un nombre convenable d'unités à la caractéristique suffirait pour la préparation du logarithme.

Soit, par exemple, 3,472o563 le logarithme proposé.

En ajoutant 7 unités à la caractéristique, il vient 4,47^0563, logarithme entièrement positif; et le nombre correspondant s'obtiendrait d'après les règles connues; après quoi, l'on diviserait le nombre par looocooo o"i par 10'.

2° Si l'on a à multiplier le logarithme 3,472.o563

par un nombre quelconque, 8 par exemple 8

on obtient d'abord pour la partie décimale 3,7764004

et pour la caractéristique — 24

ce qui donne pour résultai 21 ,7764304

3° Si l'on a à diviser ce même logarithme par 8, on commence par ajouter à la caractéristique assez d'unités négatives pour qu'on puisi^e en prendre le huitième exactement; c'est-à-dire qu'on mettra le logarithme 3,472o563 sous la forme

Prenant le huitième de celle nouvelle expression, on trouve 1,6840070. Dans les numéros suivants, nous verrons l'usage de ces opérations. Passons maintenant aux applications.

(") Celte notation diffère un pou de la notation enijiloyée dans notre .-iii:}!métique; mais nous avons cru devoir adopter ici celle dont l'usage est le plus répandu.

APPLICATIONS DES TABLES DE LOGABITHMES. SgQ

Opérations de V Arithmétique.

217. Multiplication et division. — On demande la valeur approchée du [) rodait

Appelons x ce produit, on a (209)

log^ --= logSi — logyS -f- logi3 — logia -h log47 — loê48.

logSi = i,49i36iG9

log i3 = 1,11394335

log47= 1,67209780 comp. log 75 = 8,12493874 comp. log 12 = 8,92081875 comp. log 48 =^ 8,31870876

ajoutant 5

on obtient 456419191

4,6419102 = log 43844

Différence 89 J 89

Difféi

Donc

Différence tabulaire . . 99 { 99 '" '

4,6419191 = log43844,9o.

Ainsi le produit demandé est

0,4384490, à 0,0000001 près,

Forr.iatinn dts puissances. — Observons avant tout que, comme, pour obtenir le résultat d'une formation de puissance, il faut multiplier le logarithme du nom.bre par l'exposant de la puissance, on doit prendra d'abord le logarithme du nombre proposé avec plus de 7 décimales, si l'on veut avoir un produit exact jusqu'à la 7" décimale inclusivement. Or, on trouve dans l'Ouvrage de Calht, à la suite des Tables ordinaires, une autre Table qui donne les logarithmes avec 20 décimales ; ainsi l'on peut toujours prendre ces logarithmes avec deux ou trois décimales de plus que dans les Tables ordinaires.

3oo cnAPiTtiE VI.

Cela posé, soit à former la 5* puissance de 29 ; on a (210)

log (29)'-= 5 log 29.

Or log 29 = 1,462397998,

d'oii 5 log29 =^ 7,311989990;

ôtant 3 unités =4)3ïI99oo

4,3119868 = Iog2o5ii,

Différence

Différence tabulaire..

Donc 2o5 1 1 1 5o est le nombre cherché à une dizaine près. Soit encore proposé d'évaluer (2)".

On a log 2= 0,3010299956,

d'où 64 log 2 = 19,2659197 ;

ôtant 1 5 unités 4:2659197

4,2659022 = log 18446.

Différence 175 175

Différence tabulaire 235 235

Ainsi,

4,2659197 = log 18446,74.

Donc le nombre cherché est 184 46740 '000.000. 000. 000, à dix tri liions près, c'est-à-dire que les treize derniers chiffres ne peuvent être donnés par les Tables ; mais on est censé, dans ces sortes d'exemples, n'avoir pour but que de se former une idée de la grandeur du nombre, et Ion voit avec quelle promptitude on y parvient.

Soit, pour nouvel exemple, à évaluer ( - J •

Voici le tableau des calculs, tant avec les compléments que sans compléments :

Par

compléments .

Sans

compléments.

log 2 = comp. log 3 :

log 3 = log 2 =

log 3 =

1 2 log 3-

1 2 11 log 3

— i,9370o385oi

ajoutant

ajoutant on obtient

on obtient

APPLICATIONS DES TABLES DE LOGARITHMES. 3oi

Le nombre correspondant à ce logarithme est ii56i,02 ;donco,oii56io2 est le nombre demandé, à 0,00000001 près.

Extraction des racines. — Il suffit, pour cette opération, de prendre les logarithmes avec 7 décimales.

On demande la racine 7* de 1 162049.

On a (210) log y/ 1 162049 = -logi 162049.

Iogii62o = 4)0652o6i ]ogii62o,49 — log 1 1620 = i83

Donc

log 11620,49 = 4)0652244 logi 162049 = 6,0652244

- log 1 162049

ajoutant 4

Différence tabulaire.

Différence de nomb.

Différence

Différence teibulaire Donc

4,8664587 = log 73529.

4,8664606 = log 73529, 32.

Ainsi, 7,352982 est la racine demandée à 0,000001 près.

Soit à évaluer on a

log

V^^^'rr^^^^'^^^^'^^)-

Par compléments.

log i3 =

comp. log 27 =

log — =

I , i3 — log — =

ajoutant on trouve