II -H
4,97114360 = log 93571, 49.
Donc la racine demandée est 0,9357149 à 0,0000001 près.
302 CQAPITUB TI.
Oa trouvera pareillement
-\ =1,1 54 118; (73)'- iio473gooooooo;
Calcul des expressions algébriques par logarithmes.
218. Supposons que l'on ait trouvé, pour valeur de l'inconnue d'un problème, l'expression
et qu'en donnant à a, b, e, d des valeurs particulières on veuille obtenir la valeur numérique correspondante. Par le moyen des logarithmes, on peut ramener la question à ne présenter que des additions, soustractions et des multiplications, divisions simples. On a, en effet, d'après les propriétés des n"^ 200 et 210,
logx = log \/ [a^ — b'^i 3« — log \J [a -r- b) \/cd. Mais log v' («■'-- b'\ 3 a = -[log [a -^ b) -h log (a — b) h- log 3 -h logrt],
log \l{a -h b) \/cd = -■ log(rt-T- 6) -t--logc -f- ~\ogd L
donc
log.r = •^[log(a -+■ b) -h log(« — b) -e log3 -i- loga]
— i Mog [a ^ b) -h ^logc -h ~^Ogdj ;
expression qui n'oiïrira plus à effectuer que des additions, des soustractions, et quelques divisions très-simples, lorsque a, b, c, d seront donnés numériquement.
Soient, par exemple,
CALCUL DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES PAR LOGARITHMES. 3o3
rcxpression devient
logj; =^ ^{logyS -^- log45 -i- log3 -i- log6o)
- i Mog 75 -i- i log i6 -f- ^ log 9 j ;
calculant séparément la somme qui est entre les deux premières parenthèses et la somme qui est entre les deux autres, puis prenant le tiers de la première et la moitié de la seconde, on trouvera
log^ = 1 ,92784875 — 1,47712125, ou
log^ = 0,4507275; donc
Soit encore l'expression
a" — icrb -+- ^b'c
On peut d'abord, en mettant en évidence le facteur a^ au numérateur, et le facteur a' au dénominateur, présenter l'expression sous la forme
a^ ( ia — — TT H — 7 I a . ia 5- H — - 1
V cr a" I \ a'- a" j X =
a^\ a — 3b -, ) a—ib-: 7-
cr ) ce
Posons maintenant
4è^c Zb" //
l'expression devient
a[ia — n -\- p]
a — ôb -\- m
ou, en appliquant les logarithmes,
log jr = log a -h log ( 2 <7 — « -H y.) ) — log ( <7 — 3 6 -1- n? ) ,
expression facile à calculer dès que l'on aura trouvé les valeurs de m, «, p.
Or les équations m = — — > n = — - ; p = —^ donnent a- a- ' (r
log li; .: 4. -r- 1 \ogb -,- loge — 2 logflf,
log // — Lg 3 -i- 3 log b — 7. log a, 'og^v - ^logb — 31ogrt.
3o4 CHAPITRE VI.
(L'artifice de ces transformations consiste à ramener l'expression fractionnaire à une autre dont tous les termes soient linéaire! ou du premier degré, en calculant séparément d'autres expressions qui ne présentent à effectuer (juc des multiplications, divisions, formations de puissances.) On trouvera de même
log— ^-^ — = log{«-i-è) ^-log((7 — 6) — comp.logé-)-comp.logc/— 20,
log û'-i-log [fc — ib-h/i] -i-comp. \og{a — u-i-/i'] — io,
— ba -h 4 cd
h et h' étant calculés d'après les formules
log h — log ^ H- 2 log c — 2 log«, log h' = log 4 H- log C H- log r/ — log <7.
Equations exponentielles .
219. Nous avons exposé (204) une méthode pour résoudre l'équation <f = b^ et nous en avons déduit la théorie des logarithmes ; mais actuellement que les Tables sont construites, rien ne nous empêche d'en faire usage pour résoudre ces sortes d'équations.
Or, si l'on prend les logarithmes des deux membres de l'équation a^= b, il vient (2i0)
X X logfl — logé; d'où
\osb log«
Reprenons, par exemple, l'équation 3-^= i5, qui, par la méthode du n° 20i, a donné x = 2,465, à o,ooi près ; on déduit de cette équation
logi5 1,17609126 ,„.
logS 0,47712125
L'équation a' = b est dite une équation exponentielle du prenne?- ordre; mais on peut avoir des équations de la forme
on les appelle équations exponentielles du deuxième, troisième. . . . ordre. Pour se former une idée de l'expression «*', il faut concevoir que b soit d'abord élevé à une puissance d'un degré marqué par x, et que a soit ensuite élevé à une puissance d'un degré marqué par b'.
CALCUL DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES PAR LOGARiTHSIES. 3o5
De même, «*' indique qu'après avoir élevé c à la puissance du degré marqué par x, on a ensuite élevé ô à la puissance du degré marqué par c^, et enfin o à la puissance du degré marqué par b""".
D'après ces notions, prenons les logarithmes des deux membres de l'équation rt*"^ = c; il vient
losc
b'^xlos^a = ]o^c; d'où ù^ = -^^ , ° ^ log«
ou, en prenant de nouveau les logarithmes,
X X logi == log j^ = log loge — log log^;
donc
log loge — log log«
(loge étant une fraction décimale, on peut en déterminer le logarithme d'après les Tables, comme on détermine le logarithme de tout autre nombre.)
Soit encore à résoudre l'équation a* = d. Prenant les logarithmes, on a
b'^ X log« = logr^; d'oii b' = i-^—'
,,.,,. log losd — log loga ^ , Prenant de nouveau les logarithmes, e'= — ° — ^ — >— ^ — 2, et opé- ^ ' logo *^
rant sur cette équation comme sur les précédentes,
, , loglogr/— logloga , ,1 , . 1 I Nil/
X X. loge = log - ^^^^ '^ ' = log (log logo — loglogût) — loglog^.
Donc
logdoglogr/ — loglog«) — log log Z»
On résoudrait par un procédé semblable les équations exponentielles d'un ordre plus élevé. Ces formules sont exactes, considérées algébriquement; mais, dans les applications, il est aisé de voir qu'elles donneraient des valeurs peu approchées, et l'on ne pourrait même se former une idée bien juste du degré d'approximation.
220. Remarque. — Dans le calcul des expressions algébriques, on est quelquefois conduit à prendre le logarithme d'un nombre négatif; mais alors il y a plusieurs cas à distinguer.
Al". B. 20
3o6 CHAPITRE VI.
Supposons d'abord qu'on demande, par logarithmes, la valeur du produit abc, pour des valeurs particulières de a, b, c. 11 faudra, pour cela^ faire usage de la formule
lo^nbc --- log« -+- ]ogh -+- loge.
Or soient a = 2., b = —3, c = 5; en opérant comme si 3 était affecté du signe -t-, on trouvera
\ogabc = log3o.
filais comme il y a i/n facteur négatif dans abc, il s'ensuit que le produit cherché est — 3o.
Soient encore a = 2, b = — 3, c = — 5;on aura toujours, d'après la même règle,
\ognbc = log3o.
Mais puisqu'il y a dei/x facteurs négatifs dans obc, il en résulte que lo produit cherché est h- 3o.
(En général, un produit est positif ou négatif, suivant quo le nombre de ses facteurs négatifs est pair ou impair.)
Soit encore à résoudre, par logarithmes, l'équation
il vient
log^ = -log(-8]
En opérant comme si 8 était affecté du signe -f-, on trouverait
log^ = log3a;
mais une puissance dont l'exposant est - équivaut à la racine 3* de la
5* puissance, et doit avoir le même signe que le nombre sur lequel on effectue ces opérations. On a donc
Soit, pour nouvel exemple, l'équation
o A' \ log(— 3)
9* = — 3 ; d ou X — —^ ; .
logg
Comme logg = log( — 3)'= 2log( — 3), il en résulte
2log(-3) 2'
solution exacte.
