APPLICATION AUX PROPORTIONS ET PROGRESSIONS, ETC
Mais si l'on avait à résoudre l'équation ( — 9)''= 3, commede( — g)'^ =3 on tire — 9 = 3-, on doit en conclure que l'équation proposée est absurde. On obtiendra, d'après les mêmes principes, la solution des t'quations suivantes :
x={ — S)^, -^ = 4; -î^^ = 4, ^=±8; .r = ( — 4)% équation impossible.
Proportions et progressions par quotient.
bc 221. Soit d'abord la proportion a:b\:c:x\ on en déduit x-— —1
d'où, en appliquant les logarithmes,
log^ = log/» H- loge — logrt, ou log«. log^ : loge . lcg.r;
ce qui prouve que, si rpiatre nombres forment une proportion, leurs logarithmes forment une écjuidifférence.
Soit maintenant une progression par quotient
Il résulte de la définition (191) qu'on peut l'écrire ainsi :
abc
d'où.
prenant
les logarithmes de
par
t et d'autre,
log^ = log- = lo°
= log- = lo ^ e
ou
logrt — logé = logé — loge = loge — loge/ = logd — loge
= log e — log/. . . , ou bien, enfin,
r logrt logé loge logd loge. . . .
Donc si des nombres a, b, c,. . , sont en progression par quotient, leurs logarithmes sont en progression par différence. La réciproque est évidente.
Cette proposition rapproche la définition algébrique des logarithmes (209) de la définition que l'on en donne en Arithmétique, savoir, que les logarithmes sont des nombres en progression par différence, correspondant terme pour terme à des nombres en progression par quotient.
3o8 CHAPITRE VI.
/V. B. — Nous avons déjà fait connaître ce rapprochement dans notre Traité cf arithmétique (277).
C'est surtout dans la résolution des questions relatives aux progressions par quotient que l'emploi des logarithmes est utile.
i" Si nous appelons u le dernier terme d'une progression par quotient, nous aurons (192)
Il ^ arf~\ d'où log« = loga -+- (/2 — i) log^.
Soit, par exemple, proposé de trouver le 20' terme de la progression
La formule devient
logM = logi -I- 19 (log3 — loga) = 19 (log3 — loga)
(car logi = 0), et l'on obtient, tout calcul fait,
log« = 3,3457339 = log22i6,84; u = 2216,84 à 0,01 près.
1° Si l'on veut insérer entre deux nombres donnes a et Z> un nombre m de moyens proportionnels, on a, pour déterminer la raison (198), la formule
lo2;è — losrt
m+llh ., , .
1= y-> dou logî =
Soient a = 2, ^ = i5, /« = 5o; il vient
, logi 5 — log2
et l'on obtient, tout calcul fait, ■
log<7 = 0,0171581 = logi ,040299; donc
Veut-on calculer directement le 20^ moyen proportionnel, qui est le 21* terme de la progression? On a
x — of^'/^^y" j' < 1 1 2o(loei5 — log2) (y y) ' ^°" logx = log2+ ^ ^ ^^ ^— ',
QUESTIONS RELATIVES A l'iXTÉRÊT COMPOSÉ. BoQ
OU, tout calcul fait,
log^c = 0,6441913 = log4, 407489.
Ainsi, le 20^ moyen proportionnel est 4,407489. 3° On a trouvé (193), pour l'expression de la somme des termes,
g ^ Iq — a ^ a{ci"—i) ,
dou
logS = loga -!- log(<y" — i) — log ((7 — i).
On voit, d'après cette formule, qu'il faut commencer par calculer l'expression (/', en posant Xogq" — n \o%q ; après quoi l'on obtient aisément
<7"— I, et, par suite, log(7"— i).
Nous aurons bientôt occasion d'appliquer cette formule.
4" Connaissant «, q et «, dans la formule u = a<f"\ on peut demander la valeur de n. Or on a
\oz.u — lo2;rt
log« = loga H- ( AZ — ijlogi/; d'où n~\^
logry
Soit à trouver le nombre des termes de la progression dont le premier t,^rme est 3, la raison 2, et le dernier 6i44- On obtient
loir6i44 — I02: 3 3,3iî32qn5
log2 0,30102999
Le quotient ^- est e£;al a 11 -h ; mais on néglige la
fraction, comme provenant de l'emploi des logarithmes, j
