QUESTIONS RELATIVES A L INTERET COMPOSE

222. Une des applications les plus importantes des logarithmes est celle qu'on en fait aux questions sur l'intérêt de l'argent.

Premièire QUESTION GÉNÉRALE. — JJtie soimue quelconque étant placée pendant un certain temps à un taux d'intérêt déterminé, et en intérêt composé, c'est-à-dire dans la supposition que l'intérêt de chaciue année s'accumule acec le capital de l 'année précédente, on demande ce que doit devenir cette somme au bout du temps donné.

Désignons par a la somme placée, par n le nombre d'années, et par r Tintérèt que rapporte i franc par an (ce n'est autre chose que le 100* du taux de l'intérêt de 100 francs).

oio cnAriTHi: vi.

Puisque I fr. rapporte /au bout d'un an, une sontimc n rapportera nr, ainsi, à la fin de la première année, le capital a sera devenu

a -\- nr^ ou «(i -f- r).

Soit <7(i + 7') = <■/' ; ce nouveau capital deviendra, au bout de la deuxième année, <7'(n-/-); donc le capital primitif, ou a^ sera devenu lui -môme

rt'(i-i-/-), ou «(iH-r)'.

On obtiendrait de même, au bout de la troisième année, a[\-^ r)\ et, en général, au bout de la n'""" année, n{i-r- r)". Donc, en exprimant par A cette dernière valeur, on a l'équation

A = rt(i-t-r)", d'où logA = logrt -+ « X log(i -f- /•).

Application. — On demande ce qu'une somme de 3oooo fr., placée on intérêt composé, à raison de 5 pour ico, doit rapporter au bout de 3o ans. Il suffit de faire, dans la formule précédente,

a = 3oooo, /2 =^ 3o, /•= = o.od;

loo '

03 qui donne

logA — logSoooo -f- 3o log(i ,o5).

Iogi,o5 — 0,021189299;

Sologi ,o5 = 0,63567897 log3oooo = 4j477I2I25

Donc

logA — 5, 11280022 = log 129658,27.

La formule A = a[i-\- /•)", renfermant quatre q-uantités, donne implicitement la solution de quatre problèmes différents :

1° Déterminer A, connaissant c/, /• et n : c'est la question qu'on vient de résoudre ;

2° Déterminer la somme qii il faudrait placer actuellement pour retira , au bout de n années, une somme A, en supposant le capital placé ^' intérêt composé, à raison de r pour, i fr.

Or de Féquation A — «(i 4- /•)" on déduit

log « = log A — // 1 og ( I -f- r ) ;

et cette nouvelle formule donnera la valeur de a. Cette seconde question constitue la règle d'escompte composé; car elle

QUESTIONS RELATIVES A l'iNTÉRÊT COMPOSÉ. 3ll

revient à trouver la valeur actuelle d'une somme A payable dans n années, en ayant égard à l'intérêt de la somme et aux intérêts des intérêts.

3" Déterminer le taux (Vintérêt aiujucl on doit placer une soiiiine a, pour retirer, au bout de n années, en intérêt composé, une autre somme A.

La formule serait

n fx ,, X , , , lo£;A — lo2:<7

-1 dou 10g(l H- r) = — :^

Connaissant i -f- /•, on en déduirait facilement r, et, par suite, le taux

d'intérêt pour loo fr.

4° Enfin, déterminer le temps pendant lequel une somme a doit être

placée en intérêt composé, à raison de r pour i fr., pour rapporter une

somme A.

La formule serait

!o2:A — lo?^'

logii + /-j

Si l'on voulait que A fût double, triple, quadruple, ... de fl, la formule se simplifierait.

Soit, eu efiet, A -- ma: la formule k = a[\ -^ r)" se réduit à

ma = a{i ~h r j", d"où n =

\og[i-r-r}'

c'est-à-dire que la valeur de n est indépendante du capital jjlacé primitiiemtnt.

Seconde question générale. — Déterminer quelle somme il jaiulrait pincer actuellement pour recevoir, a la fin de chaque année, une somme déterminée b, de manière à être entièrement remboursé du capital, des intérêts du capital, et des intérêts des intérêts, après un nombre n d'années, l'intérêt étant r pour \ fr. par an.

Soit a la somme cherchée ; ce capital deviendrait, au bout de n années,

Il faudrait donc qu'en déterminant ce que les sommes payées chaque année deviennent au bout de la ?&"% la somme des résultats fût égale à

Or h donné à la fin do la première année, ou au commencement de la seconde, devient, au bout de la ré""",

De même, b donné à la fin de la seconde, ou au commencement de la

3l2 CnAPITRE VI.

troisième, devient, au bout de la «''"",

On trouverait de môme

pour les valeurs des autres sommes /;, au bout de la n''"" année - On a donc l'équation

a{\ -h r)" = b{i ^- r)"-' -^ ù{i-^ r)"-'^ b{i^ rf-'-i- . . .^ b{ï-^r]-^b,

mais le second membre de cette équation, considéré dans un ordre inverse, est évidemment la somme des termes d'une progression par quotient, dont le premier terme est b, la raison i -h r, et le nombre des termes n. Ainsi cette somme a pour expression (183),

— î 5 ou —^ ;

donc, enfin, on a l'équation

ou, appliquant les logarithmes,

loga = logb -r- log[(i -+- r)"— i] — logr — n log(i -+- r).

Cette nouvelle formule, renfermant quatre quantités «, b, r, /?, donne aussi lieu à quatre problèmes différents.

Voici les énoncés de plusieurs questions qui se rattachent aux précédentes :

On demande pour- combien d'années on doit placer une somme a, en intérêt composé, a b et à lo pour loo, pour doubler cette somme. [Rép. A 5 pour loo, i4 ans a mois; à lo pour loo, 7 ans 3 mois.)

On demande la somme que Von doit placer à présent pour retirer pen- , dont 12 ans, et à la fin de chaque année, une somme de f5oo francs, de manière à être remboursé entièrement du capital et des intérêts au bout de ces douze années, l'intérêt étant 7'^'",5o pour 100.

{Rép. 1 1602'^'", 91.) a1

Un particulier a acheté une propriété de 1 00000 fr.; et cette somme doit être acquittée en 1 5 payements égaux, eu égard aux intérêts des

SÉRIES LOGARITHMIQUES. 3l3

intérêts ; le toux pour chaque intervalle de payement est de 5 pour loo. On demande de déterminer la quotité de chaque payement. [Rcp. 9634''", 22.)

Un nombre donné d^Jioniines a augmenté tous les ans de la centième partie de ce qu'' il était Vannée précédente ; combien faut-il cr années pour que ce nombre devienne 10 fois plus grand ?

[Rép. 23 1 ans environ.)

On tire chaque jour d'un baril de 1 00 litj-es de vin un litre qu'on remplace par un litre d'eau ; déterminer: 1° combien de vin il restera dans le baril lorsqu'on aura remplacé le 5o* litre ; 2° dans combien de jours le baril sera réduit à la moitié, au tiers, ou au (juart.

Réponse à la première partie de la question : 60 litres -^

Réponse à la seconde partie : 69 jours pour la moitié, log jours pour le lier.-, et i38 jours pour le quart.

§ IV. — SÉRIES LOGARITHMIQUES ET EXPONENTIELLES.

La méthole exposée (204), pour résoudre l'équation a'= b, suffisait pour donner une idée de la construction des Tables de logarithmes ; mais cette méthode est très-laborieuse, et même impraticable, lorsqu'on veut déterminer la valeur de t avec un grand degré d'approximation. Les analystes ont découvert des méthodes beaucoup plus expéditives, soit pour construire de nouvelles Tables, soit pour vérifier celles qui existent déjà : ces méthodes consistent dans le développement des logarithmes en série.

223. Soit y un nombre dont on demande le logarithme développé en série, et appliquons la méthode des coefficients indéterminés ( 179 et 181 ). Il est d'abord visible que l'on ne peut supposer

logj = A H- Bj -^ Cy--i-Df-r- . . .;

car si l'on fait^- = o, le premier membre se réduit (213) à l' infini négatif ou à l'infini positif, suivant que la base est plus grande ou plus petite que i ; tandis que le second membre se réduit à A, qui devrait alors être de même nature.

On ne peut supposer logj»' = Xy -f- By^-i- . . . , puisque y~o donne

log o ou — CO = o ,

mais si l'on met j sous la forme i -+■ .v, et qu'on pose

(i) log(i-;-x) = Ax -+- Bx=-f- Cx^-h Dcr'-f- . ..,

3l4 CHAPITRE VI.

l'hypothèse .r — o ne présente plus aucun caractère d'absurdité. Ainsi, cette forme de développement est admissible.

Tâchons de déterminer les coefficients A, B, C,

Pour cela, imitons le procédé suivi (182), et remplaçons x par z; il vient

(2) log(i-+-2) := Az + Bz=-r Cs'+Dz'-i-

Retranchant l'équatioa (2) de l'équation (i), on obtient

(3) log(i-+-.r)-log(i-4-z) = A(x — 2) -4-B(x^-z')-r-C(x'—3') -)-....

Le second membre de cette équation est divisible par x — z, et donne pour quotient

A -i- B(.r -i- z) -(- C (a.''-i- zx-4- Z-) -f-. . .;

voyons donc si, par quelque artifice, on ne pourrait pas mettre ce facteur en évidence dans le premier.

Or on a

log(i^.r) -log(i-^s) = log~^u-. logfi-i-'-^^';;

mais pouvant être regardé comme un soûl nombre «, on peut développer log(i +//) ou log [ 14-' — ;-- j commeonadéveloppélog(i -h j:^); ce qui donne

Substituons ce développement à la place de lGg(i + .r) — log(i -f-z) dans le premier membre de l'équation (3), et divisons les deux membres par X — z; il vient

= AH-B(.r + 7,) +C(u;^+.rs + z^)H^....

Puisque cette équation doit, ainsi que les précédentes, se vérifier, quels que soient x et z, posons x = z; il en résulte

— ^— = A ^ 2 Bx- -h 3 Cr^ + 4 Dx' -^ 5 E^* -;-...:

ou, effectuant la division indiquée dans le premier membre,

A{i — x-^.-x^—x'-i-x* — ...] =k-i- 2BxH-3Ca-=-!-4Da'-i-....

SÉniES LOGARITnaïQUES. 3l5

On a donc, d'après le principe du n" 180, les égalités

d'où

La loi de la série est évidente : le coefficient du n''"" terme est égal à — -, suivant que n est pair ou impair; on obtient donc enGn, pour le développement de log(i -h jr),

■224. N. E. — Par la méthode précédente, les coefficients B, C, D, E, . . . ont tous été déterminés en fonction de A ; mais ce dernier coefficient est resté complètement indéterminé. Or cela doit être d'après la nature de l'espression que l'on s'est proposé de développer; car, puisqu'on peut former une infinité de systèmes de logarithmes, il faut qu'il existe dans le développement général de log(i -f- x) une quantité tout à fait arbitraire, qui serve à distinguer les systèmes les uns des autres. D'ailleurs, on a vu (212) qi;e les logarithmes d'un même nombre, pris dans deux systèmes, ne diffèrent que par un facteur, constant pour tous les nombres; ainsi la quantité indéterminée doit être un facteur commun k toute la série ; et c'est pour cette raison que l'on a trouvé

Ï4) log.i-T-j;) =A r-

Le nombre A est (212) le module dont la valeur particulière caractérise le système de logarithmes que l'on veut considérer.

22o. L'hypothèse la plus simple qu'on puisse faire consiste à supposer A = I : et l'on a, en désignant par /. (i-t- j:) ce système particulier de logarithmes,

Si l'on donne à x toutes les valeurs possibles, on formera succe.^siveraenl tous les logarithmes de ce système, lequel a reçu le nom de Système naturel ou Système népérien (du nom de Néper, qu'on regarde comme

3l6 CnAPITRE VI.

l'inventeur des logarithmes). Occupons-nous de la formation de ce système, puisqu'il sera facile d'en déduire ensuite tous les autres, soit en donnant à A différentes valeurs, soit en faisant usage de la formule du n° 212.

Faisons, dans la série (5), a: = o; il vient

Soit encore jr = i ; il en résulte

série très-peu décroissante qui exigerait que l'on prît un très-grand nombre de termes pour obtenir une approximation suffisante; il faudrait, par exemple, prendre les cent premiers pour avoir la valeur de /.a à o,oi près (176). En général, la série ne saurait donner les logarithmes des nombres entiers, puisqu'on obtiendrait, pour tout nombre au-dessus de a, une série dont les termes iraient en augmentant.

Voici les principales transformations que les analystes ont effectuées pour conduire à des séries propres à donner les logarithmes des nombres entiers, qui sont les seuls qu'on doive placer dans les Tables :

Première transformation. — Soit fait, dans la série (5), or — -; on obtient, en observant que /. ( i -h - ) = L{y -h i) — l.y.

/.Cr + i)-/.j

En faisant successivement j = 2, 3, 4, 5, . . . , on trouve