I II

La première série donnera le logarithme de 3 au moyen du logarithme de 2 ; la seconde, le logarithme de 4 en fonction du logarithme de 3, . . . , et ainsi de suite. Le degré d'approximation pourra toujours être apprécié (176), puisque les séries sont composées de termes alternativement positifs et négatifs qui diminuent de plus en plus.

SÉRIES LOGARITHMIQUES. 3l'J

Seconde transformation . — On parvient à des séries beaucoup plus commodes, par le moyen suivant :

Substituons, dans la série

— :r à la place de ^; il vient

d'où en retranchant ces deux séries l'une de l'autre, et en observant que /.(i -i- x) — l.{\ — x) = l. '—.,

Pour que les termes du second membre décroissent rapidement, il faut

que X soit une fraction très-petite; et, dans ce cas, est plus grand

que l'unité, mais en diffère fort peu,

Posons donc = i + - {z étant au moins égal à i ) ; il vient

d'où, en réduisant,

Donc la série précédente devient

ou

^ \OLZ-T-l 3(2Z4-l)'' 5(2Z-r-l) J

Cette série donne également la différence entre deux logarithmes consécutifs ; mais les termes décroissent beaucoup plus rapidement que dans la série (6).

Soit fait successivement

3lb Cn\PITUE VI.

on trouve

Soit c = 100; il en résulte