ICI = /. 100 -I

série dans laquelle, le logarithme de 100 étant connu, le premier terme suffit peur donner celui de loi avec 7 chiffres décimaux (*i.

Il existe encore des formules bien plus ëxpéditives qui servent à exprimer des logarithmes en fonction d'autres déjà connus ; mais ce qui précède suffît pour donn. r une idée de la facilité avec laquelle on pourrait construire des Tables.

226. Les logarithmes népériens étant calculés, il est facile de former un tout autre système.

Par exemple, pour former le système ordinaire, il faut (212) multiplier

chaque logarithme népérien par le module Ce nombre a été calculé

avec tout le degré d'approximation que l'on peut désirer^ et sa valeur en décimales est 0,4342944819. . . : c'est le module propre a passer du système népérien au système dont la base est 10.

Ce module exprime d'ailleurs le logarithme ordinaire de la base du système népérien : car, en appelant e celte base, on a l'équation e'-'"— 10; d'où, prenant les logarithmes dans le système ordinaire,

/. 10 X loge = logio = I ; donc \oze — =0,43429

Comme les Tables ordinaires peuvent être déduites de ce qui précède, 3n peut s'en servir pour déterminer le nombre auquel correspond le logarithme ci-dessus ; et l'on trouve

0,4342944819. . . = loge = log 2, 7 1828 18284

(*) T'oir la Xote 1 placée à la On de ce Cliapitrc.

DÉVELOPPEMENT DES EXPONENTIELLES EX SÉRIE. SlQ

Ainsi

Nous allons bientôt parvenir à ce môme résultat par une autre voie.

227. Développement en série de l'exponentielle a^. — La liaison qui existe entre les quantités exponentielles et les logarithmes [liaison qui consiste en ce que, a représentant la base d'un système de logarithmes, X est (208) le logarithme de l'expression (f^^ nous conduit à chercher s'il ne serait pas possible de développer fâ suivant les puissances de a:; ce qui donnerait alors le développement d'un nombre en fonction de son logarithme, question inverse de la précédente.

Supposons donc ce développement trouvé; et soit

(1) «^= i-H Aj: -+- Bx--H Cor'-^ D.r*-i- . ..; .

si l'on fait j: = o, l'équation se réduit à a" = i, résultat exact. Ainsi, cette forme de développement est admissible.

Pour déterminer A, B, C, D, . . . , remplaçons x par z ; il vient

(2) rt^= i + Az-i-B3=-f-Cz'-i-D^'...; retranchant ces deux équations l'une de l'autre, on a

équation dont le second membre est divisible par x — z. Ainsi, il faut tâcher de mettre ce facteur en évidence dans le premier. Or on fev.t mettre (f — a" sous la forme a'- ((f~^ — \) ; et si l'on remplace, dans la série [\), x par x — z, il vient

rr[(f-'— i) = a'[k[x — z) -^ '&[x — zf ^ Ç.{x — zf ~ . . . ].

Substituant donc dans l'équation (3), à la place de o'— /?-, la valeur qu'on vient d'obtenir, et divisant les deux membres par x — z, on trouve

rt' [A -I- B ( X — z ) + ( Cjc — z )" -1- . . .]

Faisons maintenant x = z dans cette dernière équation ; elle se réduit à

(f A = A-T-2B.r-i-3Cj:'-;-4D'^'-i-5Ex'-i-..., ou, remplaçant a' par son développement (i),

k-^k-x^ k^x- 4- ACr^ -, . . . = A -f- 2 B J7 + 3 C.r= -f- 4Da:^-^

Égalant séparément les coefticients des mômes puissances, on obtient les équations