III I
série décroissante (*) dont les ii premiers termes donnent pour somme
2,7182818, à 0,0000001 près.
La comparaison de ce résultat avec le nombre obtenu (226), pour la valeur de e, base du système népérien, semble indiquer que c et e sont identiques. Or c'est ce qu'on peut démontrer immédiatement.
En effet, soit posé dans la formule (4), X.r = i, doù x = ji elle de-
vient
ce qui donne nécessairement rt* = c.
■ Prenant les logarithmes des deux membres de celte derm'ère égalité dans le système qui aurait pour base c, on trouve
•7log« = i, d'où log« = A-,
(*) Foir la Note I placée à la fin de ce Chapitre.
3a2 ciiAPnnE vi.
ou, mettant à la place de /• sa valeur (227),
a ~ t {n — i)' (rr — iY ^^ — jl* ® ~~ I 2 3 4
ou bien encore, posant « = i ~ jt, d'où a — \ = x,
. X .r^ x^ x' log(.H-x)== ^---i- 3---i-..^.
Or cette formule est précisément celle qu'on a obtenue (223) puur le développement du logarithme népérien de \-\- x. Donc les nombres c et c sont identiques (*).
229. La formule (4) du (227) peut prendre différentes formes qu'il est
bon de faire connaître ici.
Considérons de nouveau la relation a^ = r, ou plutôt, «* = e '^puisque l'on a c ~ e), et prenons les logarithmes des deux membres dans un système quelconque; il vient
■rlosa = lose, d'où /c = r— •
Ainsi la formule (4) se change en celle-ci
X logrt .r^ /logc/V x-^ /log^rV'
~" I loge "^ 1.2 \loge/ ' 1.2,3 \logc/
C'est la forme sous laquelle on présente ordinairement le développement de ri', les logarithmes étant pris dans un système tout à fait arbitraire.
Cas ])(irticuliei\ — i" Le nombre a peut être pris pour base du système
de logarithmes. Comme on a, dans ce cas, logrt — i, et k= , la
formule devient
XI X' f i y x' ( I \'
I loge 1.2 \loge/ 1.2.3 \i0g6'/
Tel est le développement d'un nombre quelconque en fonction de son logarithme pris dans le système dont la base est a.
2° Soit le nombre constant e pris à son tour pour base du système. Comme on a alors loge = i, d'où k = log^, ou plutôt k — La, d'après
(*) Foir la Note IV à la fin du Volume.
