OR

Le développement d'une fonction en série a principalement pour but de donner en nombres approchés la valeur de la fonction, lorsqu'on attribue des valeurs particulières à la variable qui y entre. Mais pour que ce but puisse être atteint, il faut que la série soit du nombre de celles que l'on nomme convergentes. Il est donc important d'établir les caractères de ces sortes de séries : tel est l'objet qu'on se propose dans cette Note, qui servira ainsi de complément, tant aux applications que nous avons faites de la formule du binôme à l'extraction des racines (175, 177), qu'au calcul des logarithmes par le moyen des séries

L Une série indéfinie est dite convergente, lorsqu'on peut assigner une limite de l'erreur que l'on commet en prenant les n premiers termes de la série; cette limite doit d'ailleurs être susceptible de devenir moindre que toute grandeur donnée, quand on prend n suffisamment grand.

Il faut avoir reconnu que ces conditions sont remplies pour pouvoir affirmer que la série est convergente.

Par exemple, toutes les séries dont les termes, étant alternativement positifs et négatifs, décroissent continuellement et indéfiniment sont des séries convergentes, puisqu'on a vu (176) que la différence entre la valeur numérique de la série tout entière et la valeur numérique de la somme des n premiers termes est moindre que le (« -r-i)'''"' terme, lequel peut, par hypothèse, devenir aussi petit que l'on veut pour une valeur de n suffisamment grande.

De même, toute progression par q\ioi\e.ni décroissante à l'infni est une série

convergente, puisque (195) la différence entre la somme de tous les

termes et la somme des n premiers termes est exprimée par , quantité

qui peut devenir moindre que toute grandeur donnée, pour une valeur de n suffisamment grande.

Un caractère important des séries de la première espèce dont nous venons de parler est que le rapport d'un terme quelconque à celui qui le précède est une quantité négative, constante ou variable, mais toujours numériquement moindre que I.

Dans les séries de la seconde espèce, le rapport est une fraction positive con stantc.

2. A ces deux espèces de séries, qui viennent d'être caractérisées comme des séries convergentes, il faut en joindre deux autres qui se rencontrent souvent dans les applications :

1° Une série dont tous les termes sont de même signe doit être regardée comme convergente, toutes les fois que le rapport d'un terme au précédent (pouvant d'abord être plus grand que i, ce qui suppose que les premiers termes iraient en croissant) y7«iV par atteindre une valeur moindre que i, et va continuellement en décroissant.

En effet, dès que l'on est arrivé au terme dont le rapport au précédent est devenu moindre que i, si l'on fait la somme de tous les termes compris depuis le premier jusqu'au terme en question, ou jusqu'à un autre terme plus éloigné, on obtient la limite de l'erreur en supposant que le rapport devienne constant à partir du terme auquel on s'arrête; et cette limite est alors la somme d'une progression géométrique décroissante ayant pour premier terme celui qui suit le terme auquel on s'arrête, et pour raison le rapport supposé constant; limite que l'on peut d'ailleurs rendre aussi petite que l'on veut, en prenant un

a nombre de termes suffisamment grand, puisque, dans 1 expression > a est

supposé diminuer indéfiniment.

2° Une série dont tous les termes sont de même signe est encore convergente lorsque, ses termes allant en décroissant, le rapport d'un terme à celui qui le précède augmente au lieu de diminuer, pourvu toutefois qu'il ne puisse dépasser une certaine valeur numériquement moindre que i .

Dans ce cas, la limite de l'erreur est une progression géométrique décroissante dont le premier terme est celui qui suit le terme auquel on s'arrête, et a pour raison la valeur maximum du rapport.

3. Il est d'ailleurs évident qu'une série ne saurait être convergente :

1° Si le rapport d'un terme au précédent était constamment égal à i; car, dans ce cas, tous les termes étant égaux, leur somme serait égale à l'un d'eux répété une infinité de fois, et serait, par conséquent, infinie, quelque petit que fût chacun des termes : l'erreur que l'on commettrait en prenant « termes serait elle-même infinie.

2° Si le rapport d'un terme quelconque au précédent était plus grand que i, constant ou variable; car, dans ce cas, la somme de tous les termes serait, à plus forte raison, infiinie.

Ainsi, aucune série croissante, c'est-à-dire dont les termes vont sans cesse en augmentant, ne peut être convergente.

4. Il y a même des séries décroissantes que l'on ne saurait regarder comme convergentes, parce qu'on reconnaît que la somme de tous leurs termes est infinie, et que, par conséquent, la limite de l'erreur est aussi une quantité infinie, ou réciproquement.

Considérons, par exemple, la série

connue sous le nom de série harmonique; et prenons le rapport de deux termes

326 TfOTr, SUR LES SÉRIES CONVERGENTES.

consécutils quelconques,

Or on voit que ce rapport, qui est constamment moindre que i, augmente à mesure que n au[i[mente et se ra))proclie de plus en plus de YunUé, qui peut ainsi être considérée comme la Umlte en plus, ou comme le maximum de ce rapport. Il y a donc lieu d'appliquer à la série ci-dessus ce qui a été dit pour le premier cas du numéro précédent, c'est-à-dire que la limite de l'erreur est la somme des termes d'une progression géométrique ayant pour raison l'unité, somme qui est nécessairement injinie (3). Donc, enfin, la somme des termes de la série est elle-même infinie.

C'est, au reste, ce que l'on peut vérifier d'une autre manière.

En effet, si, dans la série (5) du n" 2*25, on pose i -t-x=;j, il vient

ou

(0 io-^-[L^^i^^^i^-.iLzj:y^.,^^

Soit fait maintenant^- = o dans cette égalité, on trouve

Or on sait (213) que, dans tous les systèmes de logarithmes dont la base pst plus grande que l'unité, le logarithme de o a pour valeur Vin^ni négatif; donc

la valeur de la série — i 1 i- t -r- • ■ ■ ^^^ in/?nce.

Pour peu d'ailleurs qu'une série tirée de (i) décroisse jilus rapidement que la série harmonique, elle aura nécessairement une valeur finie; car, quelque petit que soit^-, son logarithme a une valeur finie : ainsi il doit en être de même du développement de ce logarithme. Toutefois, pour reconnaître si la série est véritablement convergente, il faut pouvoir assigner la limite de l'erreur commise lorsqu'on s'arrête à un terme de rang quelconque.

Or, si l'on pose 7^ =^ -, s pouvant être un nombre très-grand, il vient

z-\ , (::-iV , (2-iy {z-xY -1

Le rapport de deux termes consécutifs est

quantité plus petite que la fraclion constante > mais qui s'en approche

de plus en plus à mesure que « aujmenlc.

On a donc (2* cas, 2) pour limite ùe l'erreur la somme d'une progression décroissante dont le premier terme est celui qui suit le terme auquel on s'arrête, et qui a pour raison le nombre constant — ^

Cette fraction est d'autant plus petite, et, par conséquent, la convergence de la série est d'autant plus sensible, que z est plus petit. Soit, par exemple, z = 2, ce qui donne

On a ici

Ainsi, la limite de l'erreur que l'on commet en prenant les 5 premiers termes pour la valeur de la série totale est

En général, la limite de l'erreur est, pour cette série, le double au terme qui sril celui auquel on s'est arrêté.

5. Nous allons actuellement revenir, tant sur les applications numériques de la formule du binôme, que sur les séries particulières qui ont été déduites des séries lojarifhmiques ou exponentielles; et nous ferons voir que toutes les séries obtenues rentrent dans les différents cas examinés ci-dessus.

D'abord la série générale du n» 174 étant telle que les termes, à partir du second, sont alternativement 'positifs et né^jatifs, il faut encore s'assurer si les termes vont en décroissant et peuvent devenir aussi petits que l'on veut.

Or, en désignant par p le rang d'un terme quelconque, il est facile de voir que l'on a, pour le rapport de ce terme au précédent,

— ) a étant suppose < r;

pu X

ce qui prouve que chaque terme de la série est une partie du précédent, plus

1 etite que la fraction marquée par -• Ainsi, les termes diminuant indéfiniment,

la série rentre dans le premier cas du n° 1 de cette Note.

Dans la série du a' 177, tous les termes sont de méma signe à partir du

second.

( p — I V' — I 'ï Wais le rapport du /j""" terme au précédent étant — ? quantité

,„ « I « -I- 1 a eue 1 on peut mettre sous lu forme 1 on voit que ce rapport est

X p II X

constamment moindre que — ; et de plus, à mesure que p augmente, ce rapport

a approche de plus en plus de la fraction — j qui en est par conséquent la limite

en plus, ou la valeur maximum. Ainsi cette série tombe dans le second cas du n" 2, c'est-à-dire que la limite de l'erreur commise est la somme d'une progrès-

SaS ^oTE suu les séries convergentes.

sion décroissante ayant pour premier terme celui qui suit le terme auquel on s'arrête, et pour raison le rapport maximum - •

En appliquant ce principe au J" exemple proposé n° 177, on reconnaît que

les cinq premiers termes de la série donnent la valeur de v/io8 à moins de 0,00001 près.

En général, on peut démontrer que la série qui représente le développement de (i -f- z)" est convergente tant que z est une fraction positive ou négative, m étant d'ailleurs différent d'un nombre entier et positif. Mais cette démonstration, qui n'offre aucune difficulté d'après les principes établis ci-dessus, nous entraînerait trop loin, et nous la proposons comme exercice.

6. Passons aux séries logarithmiques et exponentielles. La série

obtenue (225), rentre dans le premier cas du n° 1, puisque les termes sont alternativement positifs et négatifs et décroissent indéfiniment. Quant à la série du même numéro

on a, pour le rapport de deux ternies consécutifs quelconques, in — 3 I

ou

2« — 1 (2Z -Hi)' (2

ce qui prouve que le rapport est constamment moindre que ; — —^ mais

qu'il s'en rapproche de plus en plus à mesure que n augmente, et qu'il a cette fraction jour limite.

La série se trouve donc encore dans le second cas du n° 2. Le rapport maximum serait ici ; l j fraction très-petite si z est très-grand.

Enfin la série qui donne a' (227) finit toujours par devenir convergente,

, ., kx

quels que soient a et x, puisque le rapport de deux termes conseculifs est — ?

fraction qui a zéro pour limite relativement à l'accroissement de n.

7. Nous terminerons cette Note par une remarque sur la base e du système népérien.

On a trouvé (228)

Or il est aisé de démontrer : 1° que cette série est le développement d'un nombre incommensurable ; 2° qu'elle est convergente, et que, pour chacune des sommes partielles des deux premiers, des trois premiers,... termes, la limite de l'erreur peut être assignée.

NOTE SUR LES SÉRIES CONVERGE>TES. 32g

D'abord e ne peut être un nombre entier, car on a évidemment

et cette seconde sé.ie est une progression décroissante qui (195) a pour somme Yunité.

Il suit de là que - H ■. H i-. . . est moindre que i, et, par consé-

quant, que e est un nombre compris entre 2 et 3.

Je dis, en second lieu, qu'aucun nombre fractionnaire exact ne peut exprimer

la valeur de e.

En effet, soit, s'il est possible, e égal à — » m et n étant deux nombres entiers, et 72 <im, mais >i. En poussant la série jusqu'à ce qu'on parvienne aux termes dont les dénominateurs renferment le facteur n, on aura

ou

simplement

eu

posant, pour

abi

•éger,

T . 2 . 3 . . . ( K \)ll

Cela posé, multiplious les deux membres de l'égalité (2) par i.2.3...«; i] vient

!\'aîs le premier membre de l'égalité (3) est évidemment un nombre entier, ainsi que le premier terme du second membre; il en est de même de la djeuxième partie, 1.2. 3... «.a, du second membre, puisque tous les termes dont se compose a 'ont des fractions ayant pour dénominateurs des sous-multiples du facteur 1.2.3 n, par lequel on a multiplié a. Donc, pour que l'égalité (3) subsistât, il faudrait que 1.2.3. . .«.6 fût aussi un nombre entier. Or cela est impossible, car cette expression se réduit, lorsqu'on remplace ê par sa valeur, à la série

laquelle a évidemment une valeur moindre que celle de la pro[,ression

«-i-i (« -M)' {n-i-iy dont la limite (195) est -•

33o NOTE SUR LES SÉRIES CONVERGENTES.

Donc, enfin, l'cgalilé

est elle-même impossible, et la base e ne saurait être ë{jale à un nombre coramensurable.

Le calcul précédent peut servir à faire estimer la limite de Veneur que l'on commet en prenant, pour la valeur de c, la somme des n premiers termes de la série.

En effet, l'erreur commise est marquée par