t- 1 ) n 1 . 2 . j — ir

Ce qu'il fallait trouver.

CALCUL DE l'eRREI'II DES TABÎ.ES DE LOGARITOMES. 33 1

lE CALCUL DE L'ERREIR A LAQUELLE DCN?iE LIEU L'ElIPLOl DE LA PROPOriTIC?i OUE PRESCRIT L'USAGE DES TABLES DE LOGARlTDilES.

(Voir n" 214 et Ariibuétiqoe, n" 204.)

Pour calculer les logarithmes des nombres entiers et décimaux qui ne sont pas dans les Tables ordinaires, et pour revenir de ces lo^farithmes aux nombres correspondants, on suppose : i° que le; différences entre les nombres sotit proportionnelles aux différences entre leurs logarithmes ; -1° que les logaritlimes inscrits dans les Tables sont tout à fait exacts.

Or ces deux propositions ne sont rigoureusement vraies ni l'une ni l'autre. Il est donc nécessaire, après avoir fait voir d'abord sur quels principes repose la pîoposition ci-dessus, de calculer ensuite le degré d'approximation qu'elle fournit et l'erreur qu'elle peut produire, lorsqu'on a égard aux deux causes d'inexactitude dont elle est affectée.

1. Premiep, PRINXIPE. — Soient « et « -'- i deux nombres entiers consécutifs; la différence A, ou log(/2 -t- i) — logrt, de leurs logarithmes diminue à mesure

que n augmente ; et elle est toujours moindre que la fraction — •

On a, en effet,

log (« -+- 1 ) — iog« = log ^ — --^ ) '-" ^°s ( ' "^ t; ) '

ce qui prouve déjà que A diffèie d'autant moins de log i ou de o, que le nombre» est plus grand.

Si maintenant on fait, dans la formule du n° 223, x — ? on trouve

A ou log ( I -)- - I — A ( : -)- -—■ - - . . . j ,

" \ n J \n 211- on" )

série qui donnera la valeur de A avec un degré d'approximation d'autant plus rapide que n sera plus grand.

Comme on a d'ailleurs (226)

et que la série r-r-... est ( 176) moindre que —, il en résulte nécessai-

72 2rt- //

332 CALCUL DE l'eRREUR

rement

■xn Soit, par exemple, « = loooo; il vient

A < •< 0 , oooo5,

c'est-à-dire que la différence est moindre que la moitié de l'unité dp l'ordre du , 4® chiffre décimal.

Ceci explique comment, dans une seule page des Tables de Callet, et à partir , de loooo, on a pu placer un aussi grand nombre de logarithmes. Chaque page renferme 60 lignes horizontales, chaque ligne 10 logarithmes; et comme il résulte de ce qui vient d'être dit que les trois premiers chiffres décimaux sont ' nécessairement communs, même à plusieurs dizaines successives de logarithmes, ( il suffisait d'écrire une seule fois en marge ces trois chiffres, et de placer en- j suite à part les quatre derniers, qui correspondent à la variation du nombre. 1

[Coraaie les Tables de Callet s'étendent jusqu'à 108000, on a placé quatre chif- i fres décimaux en marge, pour tous les nombres au-dessus de 100000 (parce que 1 l'on a, dans ce cas, A << o,ooooo5), ce qui a permis alors de présenter les lo- ' garithmes de ces nombres avec S chiffres décimaux au lieu de 7, sans rien chan- j ger àla disposition adoptée pour les nombres compris entre loocoet 1 00000]. !