DES TABLES DE LOGARITHMES

Cela posé, soit n == loooo; il en résulte

A — A' < < -, <r 0 , coooooooS,

2oooo>î 10002 200040000

c'est-à-dire que la différence entre deux différences consécutives de logarithmes de nombres au-dessus de lOooo est moindre que la moitié de l'unité de l'ordre du huitième chiffre décimal.

On voit donc encore pourquoi l'on a pu placer dans les Tables, pour tous les nombres au-dessus de 10000, les différences entre deux logarithmes consécutifs: c'est que, la variation d'une différence à l'autre ne portant que sur le neuvième chiffre décimal, et les Tables n'en renfermant que sept, on peut regarder ces différences comme constantes pour uu grand nombre de logarithmes.

3. Conséquences des deux propositions précédentes. — Admettons pour un instant que, pour tous les nombres au-dessus de 10000, à des accroissements égaux de nombres correspondent des accroissements égaux de logarithmes, ce qui est sensiblement exact, d'après ce qu'on vient de reconnaître; je dis qu'alors les différences des logarithmes sont proportionnelles aux différences des nombres.

En effet, soient n, n -i- i deux nombres entiers consécutifs au-dessus de loooo,

p n-i-— un nombre fractionnaire compris entre n et n-hi; on peut toujours

regarder les trois nombres n, n-f-— 1 n -t- i comme faisant partie d'une pro-

gression par diflerence , ayant n pour premier terme, —pour raison, n -^ —

pour {p ■+- ^y^"" terme, enfin « -7- -^ ou « -t- i pour dernier terme; c'est-à-dire que l'on a

Or on a supposé que les différences entre les logarithmes des nombres entiers

consécutifs sont ssnsiblement égales; donc, à fortiori, les différences entre les

logarithmes de «, « -i — 1 n -, — ,••• peuvent être regardées comme égales. 9 1

Ainsi, en désignant par 0 la différence log \ '^ -^ -) ~ l^g «, on aura pour les logarithmes qui correspondent aux termes de la série ci-dessus ■li)g«.(log« -4-ô).(Iog« -t-2 5)...(log«-i-/?ô)...(log« -^yô) ou log(rt -^- i ). De là résulte nécessairement la proportion

(« -i-i) — « : (/2-+-— I — 72 :: 'Jogn -^ yo") — log/? : (log a; -^/; 3") — log «,

puisque, en réduisant, on trouve

w — '.: qi ,pQ, ou q.p'.q-r-

334 CALCLL DE L EUREUR

la légitimité de la proportion étant établie pour les cas où les nombres sont très-grands et ont entre eux une différence au plus égale à i, nous allons passer au calcul de l'erreur qu'elle occasionne, erreur qui, comme nous l'avons déjà dit, résulte de deux causes que nous aurons à considérer successivement.

4. Calculons d'abord l'erreur qui résulte de l'inexactitude de la proportion, les loparit/i/ncs emplojés étant supposés exacts.

Soient n un nombre supérieur à loooo, / son logarithme, l-^ A celui de n-l-i; soient encore n-H^un nombre compris entre n et «-Hi, /-r- w A son logarithme; d et m représentant ici des fractions.

(Tous les nombres ii, l, A, d, m sont supposés d'ailleurs rapportés à la même unité.)

Cela posé, la quantité x qu'il faut ajouter à / pour avoir le logarithme de n - / se détermine (214) par la proportion

1 '.d :: A : -r ; d'où X ^^di^;

ce qui donne l-^dl pour le logarithme de n-^d, tandis que l'on devrait avoir / -'- ■ .' A.

L'erreur commise est donc exprimée par

e = {m — û?) A ou e=^{d — m) A,

suivant que l'on a m > ou < d.

De même, la quantité j', que l'on doit ajouter à n pour avoir le nombre correspondant à l-~mà, est fournie par la proportion

A : •. . A : : i : r, d'où j = m,

ce qui donne n-^m pour le nombre cherché, tandis que l'on devrait avoir n-rd. L'erreur commise est donc expriiaée par

e' ----- m — d ou e'=^ d — m.

D'où l'on voit que, dans les deux cas, l'erreur provient de ce qu'on pi end l'une pour l'autre les deux quantités m et d. Ainsi, nous sommes conduits à chercher la difTérence de ces deux quantités

Or on a (209) les égalités fondamentales

,o'=..«, io' + ^ = « + i, w^*'"^:^n^d; d'où, divisant la seconde par la première,

n n \ nj

ou, multipliant celle-ci par la première, membre à membre, 10^-*-'"^ ou n-^d=.n(i-^jY- Développons ( ' ^- - ) P^r la formule du binôme démontrée généralement