DES TABLES DE LOGATITHMES

(182); multiplions le résultat par n, et retranchons ensuite n de chaque membre de l'égalité précédente, il vient

m TC ( I — /« ) m{\ — '« ) ( 3 — ni')

Eans cette série, le quotient de la division du ternie qui en a r avant lui, par

le terme précédent {voir le n" 2 de la A'^ote /), est j quantité

évidemment négative et numériquement moindre que l'unité, puisque l'on a 7K < 1 et 72 >• I . Ainsi, les termes sont alternativement positifs et négatifs, et décroissent indéfiniment. On a donc (176)

m(i — m) . m(\ — m) a<m, a "> m > d ou m — «<. ■

2 II. -i /l

Mais on sait (107) que le produit m(\ — m) de deux facteurs m, i — m, dont la somme est i, a pour maximum [-) ou y Ainsi la dernièr'e inégalité se

réduit enfin à rn — d <'-^-

Il est aisé maintenant d'apprécier les deux erreurs e = (/w — d) \, e' — m — d, pour le cas de

n =-^ Gu y- 10000.

1° On a, en vertu de l'inégalité précédente,

bOUUO , 0,0001

et comme on a trouve {A'ote II, n° 1 j A <C > il en résulte

O.OOOI 0,00000001

ittooui

L'erreur e, étant moindre que le seizième de l'unité de l'ordre du 8^ chiffre décimal , ne saurait porter sur les 7 premières décimales du logarithme cherché.

20 On a

OUUOO o

c'est-à-dire que, quand on réduit en décimales le \^ terme j-^ m, pour l'ajouter à n, l'erreur ne peut porter sur le 4* chiffre décimal; mais on ne serait pas sûr de l'exactitude du 5^ chiffre (*).

5. Calculons actuellement l'erreur qui résulte de V inexactitude des logarithmes (la proportion étant supposée exacte).

(*) Les calculs qui viennent d'être établis dans ce numéro sont dus, pour l-o fond, à Bertrand, de Genève.

336 CALCUL DE l'erreur

Pour cela, nous allons, dans ce numéro, rapporter les logarithmes tabulaires, ainsi que leurs différences, à l'unité décimale du 7* ordre, ce qui revient à les rendre tous 10000000 fois plus grands, ou à les regarder comme des nombres entiers. Cette hypothèse n'a nul inconvénient, puisque l'on ne considère, dans la proportion, que les rapports des différences.

De là il résulte que, les logarithmes étant généralement fautifs, en plus ou e/i moins, d'une quantité qui a pour limite supérieure la moitié d'une unile décimale du dernier ordre {jérithméti lue , K . D. du n" 99), cette limite se

trouvera représentée par -•

Première question. — Etant donné un nombre, déterminer son logarithme.

Soit n-i- d un nombre dont on demande le logarithme, n étant la partie entière et d la partie fractionnaire; soient, de plus, /, /' les logarithmes de n, H-r-i, tels qu'ils sont fournis par les Tables. Appelons i et /' les quantités qu'il faudrait ajouter aux logarithmes l et /' pour les rendre exacts, ces quantités pouvant être positives ou négatives, et ayant - pour limite (d'après ce

qui vient d'être dit).

En supposant la proportion exacte, comme nous le faisons ici, on trouverait que le lo[;arithme àe n-^ d est égal à l -h i, augmenté d'une quantité x déterminée par la proportion

d'où, en posant l' — l ^= A,

X =^ d {S -h i' — 0; ce qui donnerait

log(rt -I- û?) = /-!-/ -i-<5?(A -h /'— t).

Mais, au lieu de cela, on pose la proportion