DES TABLES DE LOGARITHKES
nant de l'inexactitude des logarithmes tabulaires peut s'élever, soit en plus, soit en moins, jusqu'à une unité décimale du 7^ ordre, ou généralement du dernier ordre décimal des logarithmes fournis par les tables que l'on emploie.
6. Seconde qcestios. — Etant donné un logarithme, déterminer le nombre qui lui correspond.
Soit l-\- S VLO. logarithme compris entre / et V , A désignant toujours V — /, et S étant au plus égal à A — i .
On prend ordinairement, pour le nombre cherché, n —, ■, la fraction — étant
tirée de la proportion A r 0 :: 1 :^'.
Mais d'abord, le logarithme donné, l-x-S, étant poussé seulement jusqu'au degié d'approximation des logarithmes tabulaires, est passible d'une erreur
positive ou négative qu'on peut représenter par -i- i" , et dont la limite est -•
En outre, les deux logarithmes /, /' peuvent, comme ci-dessus, être fautifs des
quantités positives ou négatives -+- /, -\- i', dont la limite est -•
Ainsi la proportion à établir devrait être
{V-^i-) - (Z-t- /) : (/-i- <? -f- i") - {l^i) :: i :^ ou
., . , .„ . ,, . 5- H- /"— i A-f-i — i '.0 -^ i — i '.'. i '. r, dou r= : ;
ce qui donnerait, pour le nombre cherché,
Donc l'erreur que l'on commet en prenant « h , au lieu de cette expression,
est représentée par
^') -KZ^rj^i--^
ou
suivant que l'on a
ê-^i"—i ^^ . > ou < — •
Premier cas. — Pour obtenir la limite en plus de la différence (i), il faut tacher d'avoir le maximum de r. :•
Or, la quantité i se trouvant à la fois au numérateur et au dénominateur, si l'on se rappelle {Alg-, n° 6) que toute fraction augmente de valeur quand on ajoute un même nombre à ses deux termes, il s'ensuit qu'on obtiendra d'abord
le maximum de la fraction ci-dessus en posant — « = H — 1 qui est la plus Alg. B. 22
338 CALCUL UE l'erreur
grande valeur que puisse recevoir celte quanlilé /, ce qui donne
A -hj-l-t''*
Actuellement, pour avoir le maximum relatif aux variations de c" et de T, il suffit de rendre le numérateur le plus grand et le dénominateur le plus petit possible, ce qui se fait en posant
Ainsi le maximum résultant des variations de i, i', i" est nécessairement
Donc le maximum de la différence (i) est
Second cas. — Pour obtenir la limite en plus de la différence ('i), il faut avoir
1 • • A ^ '" '" "~ ' le minimum de ;; .•
A -t- i — i Or on peut prouver par un raisonnement analogue au précédent, mais inverse, que le minim.um résultant des variations des trois quantités i, i', i" est
» ou
Donc le maximum de !a différence (2) est
c'est-à-dire que, dans les deux cas, la limite de l'erreur commise est — •
Cette quantité croit de plus en plus à mesure que l'on avance dans la Table, puisqu'on sait (Note lî, 1) que A diminue de plus en plus.
7. Maintenant il est facile de prouver que des deux causes d'erreur qui ont été signalées au commencement de cette Note, la seconde est celle à laquelle on doit définitivement s'arrêter, sans avoir aucun égard à la première.
En effet, dans la question qui a pour but de déterminer le logarithme d'un nombre donné, puisque l'on a reconnu (4) que l'inexactitude de la proportion ne peut influer sur le dernier chiffre des logarithmes tabulaires, ou doit considérer la proportion comme tout à fait exacte, et ne tenir compte que de l'inexactitude des logarithmes, en observant (5) que le dernier chijfre décimal peut être fautif d'une unité, en plus ou en moins.
Dans la seconde question {trouver le nombre auquel appartient un logarithme donné), la limite de l'erreur qui résulte de l'inexactitude des logarithmes tabulaires ne dépendant (G) que de la différence tabulaire A et, par suite, des
DES TABLES DE LOGARITQMES. SSg
derniers chiffres de ces logarithmes, chiffres sur lesquels l'inexactitude de la proportion n'a aucune influence, il s'ensuit encore que la première cause d'erreur peut être tout à fait négligée.
8. Il ne nous reste plus qu'à faire l'application de la théorie précédente aux Tables dont on fait usage ordinairement, c'est-à-dire aux Tables de Callet.
Première question. — La proportion i : d y. A : x, d'où x^ clA, donne (5) les 7 premiers chiffres décimaux, à une unité du -j^ ordre décimal près .
Ainsi une somme de logarithmes ou de compléments aiithmétiques de logarithmes peut être fautive d'une quantité dont la limite est exprimée jjar autant d'unités décimales du •j^ ordre qu'il y a de parties dr.ns cette somme. De même, si, d;ins la \'ue d'obtenir une puissance d'un nombre, on multiplie son logarithme par l'exposant de la puissance, le logarithme résultant peut être fautif d'autant d'unités décimales du 7^ ordre qu'il y a d'unités dans l'exposant de la puissance. Mais il n'en est pas de même quand il s'agit d'une extraction de racine, parce que les cneurs qui affectent les logarithmes sont divisées par les indices des racines.
Seconds questio.n. — La proportion A : c? :: i '.y, d'où j-=:— , donne la va-
leur du nombre cherché, à une fraction près marquée par —•
Mais c' mm,e il est d'usage de convertir — en décimales, voyons à quel ordre
de décimales il convient d'arrêter l'opération. Pour 'cela, soit a la puissance de 10 qui doit exprimer le dénominateur de
la fraction décimale obtenue. Observons oue, dans la transformation de — en
décimales, on s'expose encore à commettre une erreur dont la limite est la moitié de l'unité de l'ordre du dernier chiffre décimal, c'est-à-dire — • On doit donc satisfaire à l'inégalité
i <-i d ou — < — 1 et, par conséquent, A>2a.
Donc A doit être au moins le double de la puissance de 10 à laquelle on s'arrête.
Cela posé :
Il résulte Je l'inspection des Tables de Callet que, jusqu'au nombre 21809, la différence tabulaire n'est pas plus faible que 200; donc, pour tous les nombres compris entre loooo et 21809, on peut, en réduisant — en décimales,
pousser l'opération jusqu'aux centièmes, et l'on est certain de l'exactitude du dernier chiffre décimal.
Passé ce terme, et jusqu'à 100 000, nombre pour lequel la différence tabulaire est .\'.\, on ne peut compter que sur l'exactitude du chiffre des dixièmes.
Defuis looooo jusqu'à 108000, comme la différence se trouve encore exprimée par 3 chiffres (dont le premier à droite représente des unités du 8^ ordre), on peut de nouveau compter sur l'exactitude du chiffre des 100"'"", puisque cette différence va de l\'i!\ à /joS, nombres plus grands que 200.
34o CALCUL DK l'eUREUR DES TABLES DE LOGARITHMES.
Les Tables à 7 décimales publiées par MM. Marie et Reynaud ont l'avantage de donner, sous un format plus commode, à peu près les mêmes approximations que celles de Callet. Nous n'oserions cependant pas affirmer, à cause de leur peu d'étendue (elles ne s'étendent pas au delà de 10 000), que les deux causes d'erreur signalées ci-dessus ne donnent pas plus d'une unïié d'erreur sur le 7* chiffre décimal, lorsqu'on cherche le logarithme d'un nombre, Qi plus de deux unités d'erreur sur k: chiffre des millièmes lorsqu'on cherche le nombre correspondant à un logarithme. Mais l'emploi de ces Tables, dans leur état actuel, n'en mérite pas moins d'être recommj'udé, en raison de la petitesse de leur format.
THÉORIE GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS. 34
THÉORIE GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS
Introduction. — Les plus cMè')res analystes se sont occupés du problème de la résolution générale des équations algébriques d'un degré quelconque à une seule inconnue ; mais jusqu'ici leurs efforts ont été infructueux par rapport aux équations d'un degré supérieur au quatrième. Cependant les recherches qu'ils ont faites à ce sujet les ont conduits à des propriétés communes aux équations de tous les degrés, et dont ils ont ensuite tiré parti, soit pour résoudre certaines classes d'équations, soit pour ramener la résolution d'une équation donnée à celles d'autres équations plus simples. Nous nous proposons, dans ce Chapitre, de faire connaître ces propriétés, et leur usage pour faciliter la résolution des équations (*).
§ I. — Divisibilité des fonctions entières. — Propriétés générales des ÉQUATIONS. — Théorie complète du plus gram) commun diviseur.
Divisibilité des fonctions entières.
230. Le développement des propriétés dont jouissent les équations de tous les degrés nous conduira à considérer les pohiiômes sous un point de vue particulier et tout différent de ceux sous lesquels nous les avons envisagés dans le premier Chapitre. Nous admettrons pour cela des expressions de la forme
kaf"-^ Bx"-'-^Cx"'-=-^.. .— Tj:^ U,
dans lesquelles m est un nombre entier positif, mais dont les coefficients A, B, C, . . . , T, U désignent des quantités qui peuvent être quelconques, c'est-à-dire entières ou fractionnaires, commensurables ou incommensurables, numériques ou algébriques. Or, dans la division algébrique, telle que nous l'avons exposée (Chap. P""), on a pour but, étant donnés deux polynômes entiers par rapport à toutes les lettres et aux nombres particuliers qui y entrent, de trouver an troisième polynôme de même espèce, (jui, multiplié par le second, reproduise le premier.
(" ) Voir la Note Y à la fin du Volume.
34^ CIIAI'ITRE vir.
Mais si l'on a deux polynômes
Ax"' -^ B j/"-' -t- C.ï^-' -;-... -H Tx -+- U , A'u;''-+- B'x"-' + C'J.-"-'-. . . . -- T'.r ^ U',
qui ne soient nccessnircmcnt entiers que par rapport à .r, et dont les coefficients A, B, C, ..., A', B', C, ... soient quelconques, on peut se proposer de trouver un troisième polynôme, de môme forme et de môme nature que les deux précédents, (jni, multiplié par le second, reproduise le premier.
Le procédé puur effectuer cette division est analogue à celui dj la division ordinaire; mais il y a cette différence que, dans celle-ci, le premier terme de chaque dividende partiel doit être exactement divisible par le premier terme du diviseur; au lieu (jue, dans la nouvelle espèce de division, on divise le premier terme de chaque dividende partiel (c'est-à-dire la partie affectée de la plus haute jouissance de la lettre principcde ) par le premier terme du diviseur, sans s'inquiéter si le coefficient du quotient partiel correspondant est entier ou fractionnaire, et l'on continue l'opération jusqu'à ce (pie Pon obtienne un quotient qui, multiplié par le diviseur, anéantisse le dernier dividende partiel, auquel cas la division proposée est dite exacte ; ou bien, jusiiu^h ce que Von parvienne h un reste de plus faible degré rpie celui du diviseur, par rapport à la lettre principale ; et, dans ce cas, la division est regardée comme impossible, puisque, en poussant plus loin l'opération, on obtiendrait des quotients dans lesquels la lettre principale serait affectée d'exposants négatifs, ou entrerait dans le dénominateur; ce qui serait contre la nature de la question, puisque le quotient doit être de même forme que les polynômes proposés, c'est-à-dire composé d'un nombre limité àe termes affectés d'exposants entiers et positifs.
Pour distinguer les poljTiômes entiers par rapport à une lettre, la lettres: par exemple (les coefficients étant d'ailleurs quelconques), des polynômes ordinaires, c'est-à-dire des polynômes entiers par rapport à toutes les lettres et aux nombres particuliers, qui y entrent, nous conviendrons de désigner les premiers sous la dénomination de fonctions entières de ar; et nous appellerons diviseurs relatifs de ces polynômes d'autres fonctions entières de x qui les divisent exactement dans le sens que nous venons d'établir.
231. Il résulte de ces définitions que, si une fonction entière a pour diviseur relatif une autre fonction entière, le produit de ce diviseur par un facteur quelconque indépendant de la lettre principale est encore un diviseur relatif de la première fonction.
