DIVISIBILITÉ DES FONCTIONS ENTIÈRES

En effet, supposons que l'on ait

Soit K un facteur quelconque indépendant de ^; on a nécessairement

Or le second membre de cette identité est une fonction entière de x ; donc

K(A'ar"-i- B'o;"-' -f-. . .) est diviseur relatif de kaf-^ B^'"-'-;-

Cela revient à dire que, tout diviseur relatif du produit

K(Aar"'+B^«-'^-...-;-V),

K étant un facteur indépendant de x, doit être aussi un diviseur relatif de la fonction Ax'" -f- Ex'""' -i- . . . .

Cela posé, nous allons d'abord établir sur la divisibilité des fonctions entières quelques principes analogues à ceux qui ont été démontrés, en Arithmétique, sur les nombres entiers, parce qu'ils nous seront trèsutiles dans la recherche des propriétôs relatives aux équations.

232. Premier principe. — Toute fonction entière px-^ q du premier degré en .r, qLÙ divise exactement le produit F x F' de deux autres fonctions entières, divise nécessairement Vune d'elles.

Pour démontrer ce principe, supposons que F ne soit pas divisible par/) a; H- 7; nous allons prouver qu'alors F' le sera nécessairement. En effet, en divisant F par px -1- ^7, suivant le procédé ordinaire, on parviendra à un reste qui ne contiendra plus x. Soient Q le quotient de cette division, et R le reste; on a l'équation identique

F = (/^x + ry)Q~^R,

laquelle, multipliée par F', donne

F X F'= [px H- v)QF'-h RF.

Or, par hypothèse, F x F' est divisible par px + q ; ainsi le quotient du second membre par px -f- q doit se réduire à une fonction entière de .r, ce qui exige que RF', et par conséquent F' (231), soient divisibles par

px-\-q.

233. Conséquence. — Toute fonction entière, D, du prenner degré en X, qui divise exactement le produit F x F' x F" x . . . de m fonctions entières, divise nécessairement l'une de ces fonctions.

344 CnAPITHE VII.

Car si D ne divise pas F, il doit diviser le produit F' x F" x . . . . en vertu de ce qui vient d'être dit; s'il ne divise pas F', il doit diviser F" X F'" X ... ; et ainsi de suite. D'où l'on voit que D, ne divisant aucun des (w — I) premiers facteurs, doit du moins diviser le m"""'.

On déduit de là, comme cas particulier, que D ne peut diviser F" sans «liviser F {D étant un diviseur relatif du premier degré, et F une fonction entière quelconque).

234. Second principe. — Soit une fonction entière F, résultant de la multiplication d'un nombre quelconque de fonctions entières F', F", F'",.- • (dont quelques-unes peuvent être égales). Cette fonction entière F ne saurait avoir (232) pour diviseurs relatifs du premier degré en x que ceux qui entrent dans les fonctions F', F", F'",. . . ou (231 ) des produits de ces diviseurs relatifs par des facteurs indépendants de x.

Nous pouvons actuellement passer à l'exposition des propriétés communes à toutes les équations.

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS

235. Toute équation complète du degré m [m étant un nombre entier et positif) peut, par la transposition des termes et aprè- la division des deux membres par le coefficient de af", être ramenée à la forme

ar'"-h Pa^-'-HQ^"-='-i-.-..-4-Ta:H-U = o;

P, Q, R,. . . , T, U étant des coefficients pris dans le sens algébrique le plus général.

Cela posé, on appelle racine de cette équation (97) toute expression, de quelque nature qu'elle soit, c'est-à-dire numérique ou algébrique, réelle ou imaginaire, qui, substituée à la place de x dans l'équation, rend son premier membre égal à o.

23G, Une équation pouvant, en général, être considérée comme la traduction algébrique des relations qui existent entre les données et l'inconnue d'un problème, on est conduit naturellement à ce principe, que toute équation a au moins une racine. A la vérité, les conditions de l'énoncé peuvent être incompatibles ; mais alors on doit supposer que l'on serait averti par quelque symbole d'absurdité, tel qu'une formule renfermant, comme opération nécessaire, l'extraction d'une racine de degré pair d'une quantité négative; et il n'en existerait pas moins une expression qui, mise à la place de x dans l'équation, y satisferait. Nous admettrons

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉorATIOXS. 345

donc ce principe, que nous aurons d'ailleurs occasion de vériGer, par la suite, pour la plupart des équations (*).

Voici maintenant une nouvelle proposition que l'on peut regarder comme la propriété fondamentale de la théorie, des équations.