Première propriété

Si n est une racine de l'équation

le premier membre de cette équation est divisible par [x — a\\ et, réciproquement, si un facteur de la forme [x — a) divise le premier membre de la proposée, a est une racine de cette équation.

En effet, essa^^ons la division, et voyons ce qui doit avoir lieu quand on pousse l'opération jusqu'à ce que l'exposant de x devienne o dans le premier terme du dividende.

(Cette opération est de la nature de celles dont nous avons parlé ( 230), puisque a, F, Q, . . . sont de nature quelconque.)

-Tx-^Ulr — «

-^Va

.C"-'-!-fl

-^Vn

-r-Vcf"-^

Pour peu qu'on réfléchisse sur la manière dont s'obtiennent les quotients partiels, on reconnaît, d'abord par analogie, et ensuite par un moyen déjà employé plusieurs fois (31 et 86), une loi de formation pour les coefficients de ces divers quotients; et l'on peut en conclure : i" qu'il doit y avoir m quotients partiels; a° que le coefficient du w'""""^ quotient, c'est-à-dire de x", doit être

cf-

Va"

Qa'"-^-^.

T étant le coefficient de l'avant-dernier terme de la proposée.

Donc, en multipliant le diviseur par ce quotient, et soustrayant le produit du di\idende, on obtient pour reste

Qrf'-'-

(*) JI. Cauchy a donné, dans ses Leçons à l'École Polvlechnique, une démonstration de cette proposition; mais nous ne la croyons pas de nature à trouver place dans ces Eléments; d'autant plus que, dans notre opinion, elle n'est pas exempte de quelques objections.

346 cnAi'iTnïï vu.

Or, par liypolhèsc, n esl racine de l'r'qualion; donc ce reste est nid, puisqu'il n'est autre chose que le résultat de la substitution de n à la place de .r dans l'équation; ainsi la division se fait exactement .

Réciproquement, si {x — a) est diviseur exact de x"M- P.f"-' -^. . .. !e reste «'"-h Pa'""' -:- ... doit ôLre nid; ainsi (23o) a est racine de l'équation.

238. Remarque. — En jetant les yeux sur le quotient de la division effectuée dans le numéro précédent, on aperçoit pour les coefficients la loi suivante : Chaque coefficient s'obtient en multipliant celui qui le précède par la (pianiité «, et ajoutant au produit celui des coefficients de rèquation proposée, qui occupe le même rang que le ternie du (juoticnt qiion veut obtenir.

Ainsi le coefficient du 3° terme, a'' -f- Va -î- Q, est égal à [a -.- \'] a ---Q, ou au produit du coefficient précédent <? -i- P par la quantité «, augmenté du coefficient Q du 3'' terme de Téquation proposée.

Le coefficient du 4* terme serait

a'~r-?a-^Q]a-i-K, ou a'-h'Pa'-h Qa ^J{.

Nous aurons quelquefois besoin de rappeler cette loi, qui d'ailleurs est facile à retenir.

239. Seconde propriété. — Toute équation à une seule inconnue a autant de racines qu'il j' a d^ unités dans V exposant de son degré, et ne peut en avcir davantage.

Soit .r"'-f- Pjc^-'-t- Qx^-^-^. . .^Tx ~\] = o l'équation proposée.

Puisque (23fi) toute équation a au moins une racine, si l'on désigne par a la racine que l'équation précédente comporte nécessairement, son premier membre est (237) divisible par (,r — a); et l'on a l'identité

(i) X'" -h Vx^-' -^ . . . = [x — a) [x"'' -i- V x-^-^ -h . . .].

Mais en posant

on obtient une autre équation qui a au moins une racine. Soit b cette racine, on a ( -loi )

égalité qui, multipliée membre à membre par l'égalité (i), donne

(2) x^-^ P.c"— ^... = [x — a)[x~b) [x^-'-h PV-' -1- . . . ).

rnOPRlÊTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS. 347

Raisonnant sur le polynôme x"'-^-i- PV-'h- — comme sur le précédent, on a encore

a:'"-=-i- PV"-'-^. . .= (.r — f ) (.r"-' -l- V"'x"'-' -i- . . .),

égalité qui, multipliée par l'égalité (a), donne

Remarquons maintenant que, pour chaque facteur du premier degré en X, mis en évidence, le degré de x dans le polynôme-quotiei.t diminue d'une unité. Ainsi, lorsqu'on aura fait ressortir {/ii — 2) facteurs du premier degré, Texposant de .r sera réduit à w — ' m — a"» ou 2; c'est-à-dire qu'on obtiendra un polynôme du second degré en x^ qui (97) est luimême décomposable dans le produit de deux facteurs du premier degré {x — II) [x— /). Or, comme on aura déjà mis en évidence (m — 2I facteurs du premier degré, il s'ensuit que finalement on a l'identité

dont le second membre est le produit de ni facteurs du premier degré en X.

Cela posé, puisqu'à chaque diviseur du premier degré en x correspond nécessairement (237) une racine à& la proposée, i! s'ensuit que les m facteurs du premier degré x — a. x — b, x — c,. . . donnent, pour la proposée, m racines a, b, c,. . .. Donc, etc.

Il résulte d'ailleurs évidemment du principe établi (234), que le polynôme x"' ~i- V x"'~^ -h . . . ne peut avoir d'autres diviseurs relatifs du premier degré que x — a, x — b,. . . , x — A, x — l, on le produit de l'un de ces diviseurs relatifs par un facteur quelconque indépendant de .r. Donc l'équation elle-même ne peut avoir pour racines que a, b, r,. . ., /■, /, qui sont les seules qu'on puisse tirer des équations

ou, plus généralement, des équations

(M, M', M", . . . étant des facteurs indépendants de x).

Donc, enfin, toute écjuation du degré ni a m racines, et ne saurait en avoir davantage .

240. Remarque. — Il existe des équations qui , en apparence, admettent moins de racines qu'il n'y a d'unités dans l'exposant de leur degré. Ce sont celles dont le premier membre a plusieurs facteurs égaux : telle

348 CnAPlTRK VII.

serait l'équation

qui n'a que quatre racines différentes «, b, r, ri, quoiqu'elle soit du dixième degré.

Il est évident qu'aucune quantité a différente de a, b, c, d ne peut la vérifier. Car l'existence de cette racine a entraînerait celle du diviseur (x — a) dans le premier membre, ce qui est impossible en vertu du principe établi (23i).

Mais la proposée n'en a pas moins lo racines, dont 4 sont égales à a, 3 égales à i, a égales à r, i égale à d.

Nous verrons par la suite que ces sortes d'équations sont plus faciles à résoudre que celles dont les racines n'ont entre elles aucune relation déterminée.

2 il. Conséquence de la seconde propriété.

Le premier membre de toute équation du degré m ayant m diviseurs du premier degré de la forme

si l'on multiplie ces diviseurs deux à deux, trois à trois,. . . , on obtiendra ainsi autant de diviseurs relatifs du second, du troisième,. . . degré en X, que l'on peut former de combinaisons différentes avec w quantités prises deux à deux, trois à trois,. ... Or ces nombres de combinaisons

sont, comme on 1 a vu ( 14/ ), exprimés par m . m — — — ; • • ■ ;

et les produits obtenus sont d'ailleurs (234) les seuls diviseurs du môme degré que le premier membre de la proposée puisse avoir, à moins que l'on ne considère ensuite les produits de ces diviseurs relatifs par des facteurs indépendants de x.

Ainsi la proposée admet m — diviseurs du second degré,

m — diviseurs du troisième degré; et ainsi de suite.

242. Composition des équations. — Si, dans l'équation identique xT-^ Px"-' -^. . .:=[x ~ a)[x - b)[x — c). . .[x — /),

on effectue la multiplication de m facteurs du second membre (148), et que l'on compare, terme à terme, les deux membres, on parviendra aux relations suivantes entre les coefficients P, Q, R, . . . , T, U, et les ra-

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS. 349

cines <?, b, c,. . ., A-, l de la proposée, savoir :

— a — h — c — ...— k~l = Y, ou

<-/ 4- /; -f- c -+- . . . -t- /{• -4- / = — P ; rtZ' -i- «c H- . . . -f- ^ 7 = + Q — abc ~ abd — ...— ///= R, ou abc -+- abd -i- . . . -i- /// = — R ;

dr abcd . . . // == U, OU abcd . . . // = zb U.

(On a placé un double signe dans la dernière relation, parce que le produit — a X — b x — <:x...x — /est -+-ou — abcd. . . kl, suivant que l'équation est de degré pair ou de degré impair.)

Donc :

1° La somme algébrique des racines, prises en signes' contraires, est égale nu coefficient du second terme ; ou bien, la somme algébrique des racines, prises avec leurs signes, est égale au coefficient du second terme, pris en signe contraire.

1° La somme des produits deux à deux des racines, prises avec leurs signes, est égale au coeffiicient du troisième terme.

"y La somme des produits trois a trois des racines, prises en signes contraires, est égale au coeffiicient du quatrième terme; ou bien, la somme des produits trois à trois des racines, prises avec leurs signes, est égale au coeffiicient du quatrième terme, pris en signe contraire.

Et ainsi de suite.

Enfin, le produit de toutes les racines, prises avec leurs signes ou en signes contraires, est égal au dernier terme; ou bien, le produit de toutes les racines, prises avec leurs signes, est égal au dernier terme de Inéquation, pris avec son signe si l'équation est de degré pair, et avec un signe contraire si l'équation est de degré impair.

Les propriétés démontrées (98), par rapport aux équations du second degré, ne sont que des cas particuliers de celles qui viennent d'être établies. Le dernier terme, pris avec son signe dans ces équations, est égal au produit des racines elles-mêmes, parce que l'équation est de degré pair.

N. ^. — On a supposé, dans tout ce qui précède, le coefficient du premier terme égal à l'unité. S'il en était autrement, il faudrait, avant d'établir les relations ci-dessus entre les coefficients et les racines, diviser toute l'équation par ce coefficient.

243, C'est ici le lieu d'établir deux propositions dont nous aurons plus d'une fois à faire usage par la suite.

35o cnAPiTr.E vu.

Soit l'équalion la plus générale du m""" degré

A^-"' -H Bj:™-' -:-...-+- Ha:™-"+'-i-K^-"-"-;-. ..

-1- ÎS x" --■ P j:"~' -j- . . . -i- T j: -^ U — o ;

A, B, . . . , II, K , X, P , T, U étant des quantités algébriques quelconques. (Le terme "isx" a n termes après lui, et le terme Ko,"'-" en a n avant lui.)

Cela posé, il peut arriver que des hypothèses rarticulicres faites sur les données qui ont conduit à l'équation proposée anéantissent, soit les II derniers termes, à partir du terme P.r"-' jusqu'à la fin, soit les n premiers termes, jusqu'au terme Hjr"'-"+' inclusivement. Or je dis que, dans le premier cas, l'équation a un nombre n de racines nulles, et que, dans le second, elle n un n'ambre n de racines infnies.

En efifet, dans le premier cas, l'équation prenant alors !a forme

od'ykc^-"-^ B.r'"-"-' -^ . . . — X) = o,.

on peut y satisfaire en posant,

soit .r" = 0, soit Ax"'-" + B.r""'"-' -^ . . . -^ N = o ;

cr la première hypothèse donne n racines nécessairement nulles (239), et la seconde {m — n) racines qui peuvent être quelconques.

Quant au second cas, faisons, comme au n° 192, x =- dans l'équation

proposée.

Il vient, après la disparition des dénominateurs,

Uj'- -- Tj"- -T- . . . - \y -.- A = o, ■

équation dont les n derniers coefficients sont, par hypothèse, égaux à zéro, et qui a par conséquent n racines nulles; donc, à cause de la relation X = -5 léquation proposée à n racines infinies. c. q. f. d.

Introduction. — En réfléchissant sur les propriétés précédentes, on aperçoit une très-grande analogie entre la recherche des diviseurs relatifs du premier degré d'une fonction entière de x et la résolution d'une équation. En effet, il résulte de la propriété du n° 239, que tout polynôme

A j:" -4- B j^"-' -r- Cx"'-= ^ . . . ^ Tu- -^ U

est décomposablc en m f^.cteurs du premier degré en x; or, pour obtenir cette décomposition, il suffirait d'égaler le polynôme à zéro, et de ré-

THÉORIE COJJPLÈTE DU PLUS GUAKD COMMUN DIVISEUîi. 36'l

soudre l'équation par rapport à .r; et réciproquement, si l'on connaissait les facteurs du premier degré en x qui composent ce polynôme, on connaîtrait par là môme les racines.

Si l'on a besoin de savoir résoudre une équation pour obtenir les diviseurs relatifs d'un polynôme, cela n'est pas nécessaire pour obtenir ce que l'on appelle le plus grand cmnnmn diviseur relatif de deux fonctions entières. Les analystes ont même tiré parti de cette dernière question pour la résolution de certaines classes d'équations. Ainsi, avant de pénétrer davantage dans la théorie des équations, il est nécessaire que nous complétions la recherche du plus grand commun diviseur, question qui n'a été qu'ébauchée dans le premier Chapitre.

Nous traiterons d'abord le cas de deux fonctions entières de x] après quoi nous considérerons celui où les deux polynômes sont entiers par rapport à toutes les lettres et aux coefficients.

2i'K Le plus grand cnmmun diviseur relatif ÙQ deux fonctions entières de X est le polynôrae du plus haut degré en x, qui divise à la fois les deux polynômes proposés.

Il résulte évidemment de cette définition que, quand les deux polynômes ont été divisés par leur plus grand commun diviseur, les quotients résultants ne doivent plus renfermer aucun facteur commun en x\ car, s'il en existait un, le produit de ce facteur par le diviseur déjà considéré serait de degré plus élevé en x que ce diviseur, et serait encore diviseur relatif des deux polynômes.

Cela posé : soient c/, d\ d" les seuls facteurs du premier degré en .r, com.muns à deux fciictions entières, et supposons que «, /?, q soient les expesants des puissances de ces facteurs, communes aux deux polynômes. 11 est évident que le produit d''d'''d"'' est un diviseur relatif commun aux deux polynômes. Je dis, de plus, que c'est leur plus grand commun diviseur relatij ; car il résulte du principe établi (234) que les autres diviseurs relatifs communs ne peuvent être que des produits 2 à 2, 3 à 3,... des diverses puissances de c/, <-/', d\ dont les exposants sont tout au plus égaux h. n^ p^q.

Nous pouvons donc établir, comme premier principe : 1" que le plus grand commun diviseur relatif de deux fonctions entières est le produit des plus hautes puissances de tous les diviseurs du premier degré en .r, communes aux deux polynômes; 1° que tout diviseur relatif commun à deux fonctions entières divise nécessairement leur plus grand commun diviseur relatif.

352 CUAPITRE VII.

jV. B. — On pourrait encore former une infinité do diviseurs relatifs communs, do même degré, en x, que d" x cVx cl'"' ; mais ce serait (231 ) en multipliant celui-ci par des facteurs indépendants de x.

2-i5. Second principf.. — Le plus grand commun diviseur relatif de deux jonctions entières est le mcnic que celui (jui existe entre le polynôme du plus faible degré et le reste de leur division, ou, du moins, // n'en diffère que par un facteur indépendant de x.

En effet, soient A et B les deux polynômes, D leur plus grand commun diviseur relatif, Q et R le quotient et le reste de leur division, D' le plus grand commun diviseur relatif de B et de R; on a l'égalité

d'où Ion déduit, en divisant alternativement par D et D',

ABQ R .ABQ R D-"D "^D' ^^ D'" D' "^D''

D'abord, D étant diviseur relatif de A et de B , il s'ensuit qua

è et -^ sont des fonctions entières de x\ ainsi il doit en être de même

de -; c'est-à-dire que D est diviseur relatif de B et de R. Donc, d'après

le PREMIER PRINCIPE, D dolt divlser D' qui est le plus grand commun diviseur relatif entre B et R.

De même, D', diviseur relatif de B et de R, l'est aussi de BQ et de R, et, par conséquent, de BQ -+- R, ou de A. Ainsi D', diviseur relatif de A et de B, doit diviser D, qui est le plus grand commun diviseur relatif entre A et B.

Les deux polynômes D et D' sont donc réciproquement divisibles l'un par l'autre, ce qui exige qu'ils soient de môme degré, et, par conséquent (244), qu'ils soient identiques ou ne diffèrent l'un de l'autre que par un facteur indépendant de x.

246. De ces deux principes résulte le procédé suivant pour trouver le plus grand commun diviseur relatif de deux fonctions entières.

Divisez le polynôme du plus haut degré en x par le second; si la division se fait exactement, le second polynôme est le plus grand commun diviseur cherché. Si vous obtenez un reste, divisez le second polynôm^ par le reste; en supposant que cette division se fasse exactement, le reste est le plus grand commun diviseur entre ce reste lui-même et le second polynàne, et, par conséquent, aussi entre les deux polynômes proposés. Si vous obtenez un second reste, divisez le premier reste par le second.

et continuez ainsi Vopération jusqu'à ce que vous pan'cniez à un reste qui divise exactement le reste précédent, et qui sera alors le plus grand commun dii'iseur cherclié.

Lorsque, en appliquant le procédé ci-dessus, on parvient à un reste indépendant de x^ on peut en conclure que les deux polynômes proposés sont premiers entre eux, en ce sens qu'ils n'admettent aucun diviseur commun en x\ car le plus grand commun diviseur relatif, divisant (245) le reste de chaque division, devrait aussi diviser le reste indépendant de x auquel on est parvenu, ce qui est impossible.

Nous verrons (259) les modifications que l'on peut, dans la pratique, apporter à ce procédé, lorsqu'on l'applique à une certaine classe de polynômes.

247. Soit maintenant à déterminer le plus s;rand commun diviseur relatif de plusieurs fonctions entières A, B,C,E,....

Appelons D le plus grand commun diviseur entre A et B, D' le plus grand commun diviseur entre D et C; je dis que D' est aussi le plus grand commun diviseur de A, B, C.

En effet, le plus grand commun diviseur de A, B, C, devant diviser A et B, divise leur plus grand commun diviseur D; d'ailleurs il divise aussi C : ainsi il doit diviser D', qui est le plus grand commun diviseur de D et de C ; il ne peut donc être d'un degré plus élevé que D'. Mais D' est évidemment diviseur commun aux trois polynômes A, B, C; donc, enfin, D est leur plus grand commun diviseur.

On prouverait d'une manière analogue que le plus grand commun diviseur D", entre D' et E, est le plus grand commun diviseur entre A, B, C, E ; et ainsi de suite.

N. B. — Dans les applications, on commence par chercher le plus grand commun diviseur entre les deux polynômes du plus faible degré, puis entre celui qu'on a ainsi obtenu et le troisième polynôme le plus simple, sous le rapport du degré; etc.

248. En résumant les règles précédentes, on voit que, par une suite de divisions algébriques, on peut toujours obtenir le plus grand commun diviseur relatif entre deux ou plusieurs polynômes en x, quelle que soit la nature des coefficients des diverses puissances de la lettre principale.

On peut encore observer que, toutes les fois qu'on opère sur des polynômes rationnels, c'est-à-dire sur des polynômes qui ne renferment aucun, signe d'extraction de racine, l'application du procédé conduit à des quotients et à des restes qui peuvent être entiers ou fractionnaires, mais qui sont essentiellement rationnels. Ainsi le plus grand commun diviseur relatif auquel on parvient par ce procédé ne peut être cpie rationnel. Mg. D 23

354 CnAPITRE VII.