DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ALGEBRIQUE ORDINAIRE

2i9. Les polynômes que nous allons maintenant considérer seront de la nature de ceux sur lesquels nous avons opéré dans le premier Chapitre; et nous les appellerons des polynômes rationnels et entiers, parce que leur caractère consiste en re que, composés d'un nombre limité de termes, comme \qs fonctions entières, ils ne renferment dans leur expression aucun des deux signes de la division ou de l'extraction des racines; c'est-à-dire que les coefficients numériques ou algébriques sont entiers, et qu'irn'entre dans ces polynômes que des exposants entiers et positifs pour toutes les lettres.

Un polynôme rationnel et entier est à\i facteur ou diviseur d'un second polynôme de môme nature, lorscfCil existe un troisième polynôme rationnel et entier qui, muliiplié par le premier, peut reproduire le second; et c'est par le procédé de la division algébrique ordinaire qu'on reconnaît si le premier polynôme est facteur du second.

Tout polynôme rationnel et entier est dit premier lorsqu'il n'a pas d'autre diviseur rationnel et entier que lui-même et l'unité qui est diviseur de toute quantité entière; et deux polynômes rationnels et entiers sont dits premiers entre eux, lorsqu'ils n'admettent aucun facteur commun rationnel et entier, autre que l'unité.

2a0. Ces définitions étant bien comprises, nous regarderons comme démontrée la proposition suivante (*) : Tout polynôme premier P [rationnel et entier) qui divise exactement le produit A x B de deux autres polynômes rationnels et entiers doit nécessairement diviser l'u/i de ces polynômes. Et voici les conséquences qu'on peut en tirer :

Premièrement. — Concevons qu'un polynôme rationnel et entier A soit déjà décomposé dans le produit de plusieurs facteurs premiers, numériques ou algébriques, mais rationnels et entiers, et que l'on ait