A = PP'P"P"'...P
(plusieurs de ces fadeurs premiers pouvant être égaux entre eux).
Il résulte de la proposition qui vient d'être énoncée qu'aucun polynôme premier p, dilférent de P, P', P", . . ., P", ne peut diviser A; car, pour diviser A, il faut que p divise P x PP'P". . . P"; or, s'il est différent de P, il ne peut le diviser, puisque P est premier, et il doit, par conséquent, diviser P'P". ..P". Par la môme raison, si p est difTérenl
(*) f'oir, pour la démonstration, la Note qui est à la fin du Chapitre VIII.
de P', il doit diviser P"?'".. . P", et ainsi de suite; d'où l'on conclurait que p doit être égal au dernier fadeur P", ce qui est contre l'hypothèse. Ainsi les seuls facteurs rationnels et entiers que A puisse renfermer sont les facteurs P, P', P".. . ., P", dans lescpiels A est déjà décomposé, ou les produits de ces factew s deux a deux, trois à trois, etc.
2ul. Secondement. — Soient A et B deux polynômes rationnels et entiers, D leur plus grand commun diviseur, c'est-à-dire (34) le polynôme le plus grand par rapport aux exposants et aux coefficients, qui divise exactement les deux polynômes donnés. Si l'on désigne par A' et B' les quotients respectifs de leur division par D, on a (môme numéro) A = A'D, B = B'D, A' et B' étant premiers entre eux.
Cela posé, tout diviseur premier d, commun aux deux polynômes, ne pouvant diviser en même temps A' et B', doit, en vertu de la proposition fondamentale (2o0), diviser D. Il est d'ailleurs évident que tout facteur premier qui divise A sans diviser B, ou vice versa, ne saurait diviser D.
Donc le plus grand commun diviseur de deux polynômes rationnels et entiers contient, comme facteurs, tous les diviseurs particuliers communs aux deux polynômes, et ne peut en renfermer d'autres.
C'est le premier principe du n" 35 a| pliqué à deux polynômes rationnels et entiers.
2o2. Troisièmement. — Soient A et B deux polynômes rationnels et entiers; r/, d', d",... les facteurs premiers (rationnels et entiers) communs aux deux polynômes; «, />, q,.-. les exposants des plus hautes puissances de ces facteurs, communes aux deux polynômes ; et supposons, pour fixer les idées, que ces facteurs soient au nombre de quatre. On a les deux égalités
A" et B" étant premiers entre eux; car, s'il en était autrement, c'est quo l'on n'aurait pas mis en évidence tous les facteurs premiers communs.
Cela posé, je dis que l'on a, en désignant par D le plus grand commun diviseur entre A et B,
0 = d"d'Pd"'d"".
En effet, il est évident d'abord que ce produit d" d'^ d"'' d'"" est diviseur commun des deux polynômes. De plus, c'est le plus grand qu'on puisse obtenir, puisque (2o0) les autres facteurs ne peuvent être que les produits, deux à deux, trois à trois,. .. des diverses puissances de<-/, d\d\ d'", dont les exposants sont tout au plus égaux à n, p, </, r. [C'est la proposition déjà démontrée (244) pour le plus grand commun diviseur relatif.]
U résulte de là que deux polynômes rationnels et entiers ne peuvent avoir (ju'un seul plus grand commun diviseur, c'est-à-dire un seul diviseur commun, dims lequel les coefficients et les exposants soient les plus grands possibles, tandis que deux fonctions entières ont uni' infinité de plus grands communs diviseurs relatifs (24i-).
253. Quatrièmement. — On peut, sans aucun inconvénient, introduire ou supprimer, dans l'un des polynômes A ou B, tel j acteur rationnel et entier que Von juge à propos, pourvu que ce facteur ne se trouve pas déjà dans l'autre polynôme. Car il est évident que le plus grand commun diviseur entre les deux nouveaux polynômes reste le même qu'entre les polynômes proposés, puisqu'il doit se composer des mêmes facteurs.
2o4. Cinquièmement. — Passons à la démonstration du second principe établi (3b).
Observons d'abord que les deux polynômes A et B peuvent toujours être supposés tels, qu'après les avoir ordonnés par rapport à une de leurs lettres communes, «, et avoir divisé le polynôme du plus haut degré, A par exemple, par le second B, on ait obtenu un quotient entier et un reste de même nature, dans lequel le plus haut exposant de a soit moindre que celui du diviseur.
En effet, pour que, dans chacune des opérations partielles, le quotient soit fractionnaire, il faut que le coefficient du premier terme de chaque dividende partiel ne soit pas exactement divisible par le coeflicient du premier terme du diviseur ; et alors le dénominateur du quotient partiel est ce dernier coefficient lui-même, ou l'un des facteurs de ce coefficient. Or il peut se présenter trois cas : ou ce coefficient divise en même temps les coefficients des autres puissances de a qui entrent dans le diviseur; ou il a des facteurs communs avec tous ces coefficients; ou bien il a, avec quelques-uns seulement, des facteurs communs qui n'entrent pas dans les autres. (On dit, dans ce dernier cas, que tous les coefficients sonf premiers entre eux.)
Dans les deux premiers, B contiendrait, comme facteur, ce coefficient, ou l'un des facteurs de ce coefficient ; et ce facteur ne se trouvant pas dans le dividende, il ne saurait (2SJ ) faire partie du plus grand commun diviseur entre A et B. Ainsi (253) on pourrait le supprimer d'avance dans B; et la question serait ramenée à rechercher le plus grand commun diviseur entre A et le résultat B' provenant de la suppression de ce facteur.
Dans le troisième cas, on pourrait multiplier le dividende A par le mul' tiple le plus simple des dénominateurs des quotients fractionnaires obtenus, lequel multiple serait nécessairement premier avec B. Le produit
de A par ce multiple ayant (253) avec B le même plus grand commun diviseur que celui qui existe entre A et B, on pourrait alors opérer sur ce produit A' et sur B, comme sur les deux polynômes primitifs, et Ion serait alors certain d'avoir des quotients entiers.
Nous pouvons donc admettre h priori que les polynômes A et B satisfassent à la condition ci-dessus énoncée.
Cela posé, je dis que le plus grand commun diviseur ei2tj-e A e^ B est le même que le plus grand commun diviseur entre B e^ R, R désignant le reste de leur division poussée jusqu'à ce que le reste soit de degré moindre que B par rapport à la lettre principale a.
En effet, soient D le plus grand commun diviseur entre A et B, et D' le plus grand commun diviseur entre B et R; on a l'égalité
(Q et R étant des polynômes entiers) ; d'où, divisant d'abord par D et ensuite par D',
AB xQ R A B X Q R
Ces deux dernières égalités prouvent ;
1° Que D divisant A, B, et, par conséquent, B x Q, divise aussi R; ainsi D, diviseur commun de B, R, divise (2ol) D', qui est \q plus grand commun diviseur de B et de R ;
2" Que D' divisant R, B, et, par conséquent, B x Q, divise aussi A; ainsî D', diviseur commun de A, B, divise D, qui est le plus grand commun diviseur entre A et B.
Puisque D et D', divisés réciproquement l'un par l'autre, doivent donner ues quotients entiers, ces quotients ne peuvent être que l'unité; et l'on a
2o.5. Il nous reste encore à faire une remarque propre à nous guider dans la question qui nous occupe.
Soit A un polynôme rationnel et entier que nous supposons ordonné par rapport à l'une des lettres qui y entrent, a par exemple.
Si ce polynôme n'est pas premier (2i9), c'est-à-dire s'il est décomposable en facteurs rationnels et entiers, il peut être regardé comme le produit à.Q trois facteurs principaux, savoir :
1° Viun monôme A, commun à tous les termes de A (ce facteur se compose du plus grand commun diviseur qui existe entre tous les coefficients numériques, multiplié par le produit des facteurs littéraux communs à tous les termes);
358 CDAPITRE VII.
2° D'un polynôme A, indépendant de ^/, lequel doit (30) se trouver facteur commun à tous les coefficients des diverses puissances de a dans les polynômes ordonnés ;
3° \yun polynôme A, dépendant de n, et dans lequel les coefficients des diverses puissances de a sont premiers entre eux (S.'Ji), en sorte que l'on a
A =^ A, Aj A3.
Quelquefois l'un des facteurs A,, A^, ou tous les deux, se réduisent à l'unité; mais, du moins, telle est la forme la plus générale d'un polynôme rationnel et entier ordonné par rapport à a.
Il résulte de là que, quand il existe un plus grand commun diviseur D entre deux polynômes rationnels et entiers A et B, on a également
D, désignant le plus grand facteur monôme commun, Dj le plus grand facteur polynôme indépendant d'une lettre commune «, et D3 le plus grand facteur polynôme dépendant de cette lettre.
Voici d'ailleurs le moyen d'obtenir D, :
On cherche tV abord le facteur monôme A, commun à tous les termes de A. Ce facteur est, en général, composé de facteurs littéraux qui se découvrent à la simple inspection des termes, puis d'un coefficient nunaérique que l'on obtient en appliquant aux divers coefficients numériques de A le procédé établi en Jritlimctiqur (152) pour trouver le plus grand commun diviseur entre plusieurs nombres à la fois.
On cherche de même le facteur monôme B, commun à tous les termes de B; puis on détermine le plus grand diviseur D, commun à A, et B,.
Ce diviseur D, est mis à part, comme formant le premier fadeur du commun diviseur cherché. On supprime d'ailleurs les facteurs A, et B, dans les deux polynômes proposés ; et la question est ramenée à chercher le plus grand commun diviseur entre deux nouveaux polynômes A' et B' débarrassés de tout facteur monôme. C'est donc à deux polynômes de cette espèce qu'il convient d'appliquer le procédé dont nous allons donner le développement.
2o6. Il peut se présenter plusieurs circonstances, eu égard au nombre des lettres que A' et B' renferment.
1° A' et B' ne renfermant qu'une seule lettre a. S*
Si l'on ordonne A' et B' par rapport à a, les coefficients seront néces-
THÉORIE COMPLÈTE DU PLUS GRA>'D COMMUX DIVISEUR. 35l)
sairement premiers entre eux, puisqu'ils sont numériques, et qu'on a déjà retiré les facteurs monômes. Ainsi, dans ce cas, il n'y a lieu à rechercher que le plus grand facteur commun dépendant de «r, savoir Dj (âoa).
Pour l'obtenir, on commence (2oi) par préparer le polynôme du plus haut degré, de manière que son premier terme soit exactement divisible par le premier terme du diviseur. Cette préparation consiste à multiplier tout le dividende par le coefficient du premier terme du diviseur, ou par un facteur de ce coefficient, ou (3G) par une certaine puissance de ce coefficient, afin de pouvoir exécuter plusieurs opérations de suite sans nouvelles préparations.
0/1 effectue alors la division , et l'on pousse l'opération jusqu'à ce quon obtienne un reste de plus faible degré cpœ le polynôme qui a servi de diviseur.
On cherche si, entre les coefficients de ce reste (qui ne peuvent être que des nombres), il n'existerait pas un facteur commun ([u'on aurait soin de supprimer, comme ne pouvant faire partie du plus grand commun diviseur cherché; après quoi, on opère sur le second polynôme et sur le reste, comme on a opéré sur les deux polynômes A' et B'.
On continue cette série d^ opérations jusqu à ce que l'on soit parvenu à un reste diviseur exact du reste précédent, auquel cas ce reste diviseur est le plus grand commun diviseur D3 qui existe entre A' et B'; et D, X D3 exprime alors le plus grand commun diviseur entre A et B ; ou \ÀQVi , jusqu' h ce qu'on trouve un reste indépendant de a, c'est-à-dire numérique, et c'est un signe certain que les deux polynômes A' et B' sont premiers entre eux.
1° A' et B' renfermant deux lettres a et b.
Après avoir ordonné ces polynômes par rapport à a, il faut d'abord procéder à la recherche du facteur polynôme D^ indépendant de a (2oo .
Pour cela, on commence par déterminer le plus i^rand commun diviseur Aj entre tous les coefficients des diverses puissances de a dans le polynôme A'. Ce commun diviseur s'obtient en appliquant le procédé (2i7) relatif à la recherche du plus grand commun diviseur entre plusieurs polynômes à la fois, ainsi que la règle qui a été établie dans le cas précédent, puisque ces coefficients ne renferment que la seule lettre b. On détermine de même le plus grand commun diviseur B^, entre tous les coefficients de B'. Comparant ensuite A^ et B^, on met à part leur plus grand commun diviseur Dj, comme faisant partie du plus grand commun diviseur cherché; QiVon supprime d'ailleurs les facteurs k^ et Bj dans A' et B' ; ce qui donne lieu à deux nouveaux polynômes A" et B" dont les coefficients sont premiers entre eux, et auxquels on peut, par conséquent^ appliquer ce qui a été dit dans le premier cas.
36o CIIAriTRE VII.
Toutefois, il faut avoir le snin, pour chaque reste, de s'assurer si les coefficients des diverses puissances de la lettre a ne renferment pas un facteur commun, qu'on supprimerait alors comme étant étranger au commun diviseur. Nous avons déjà fait voir (38) que ces suppressions sont absolument indispensables.
On obtient ainsi pour A" et B" le commun diviseur Dj; et pour les deux polynômes A et B, le plus grand commun diviseur est D, x D, x Dj.
N. B. — En appliquant à A" et B" le procédé indiqué dans le premier cas, on reconnaît encore que ces deux polynômes sont premiers entre eux, à ce signe, qu'on obtient un reste, soit numérique, soit fonction de b, mais indépendant de a. Alors A et B n'ont pour plus grand commun diviseur que D, X Dj.
3" A' et B' renfermant trois lettres a, b, c.
Les deux polynômes étant ordonnés par rapport à a, on détermine d'abord le plus grand commun diviseur indépendant de fl, ce qui se fait en appliquant aux coefficients des diverses puissances de o, dans les deux polynômes, le procédé (247) et la règle du second cas, puisque ces coefficients polynômes ne renferment que les deux lettres b, c.
Le polynôme indépendant Dj étant ainsi mis en évidence, et les facteurs Aj et Bj qui l'ont donné, étant supprimés dans A' et B', il en résulte deux polynômes A" et B" dont les coefficients sont premiers entre eux, et auxquels on peut, par conséquent, appliquer ce qui a été dit dans les deux cas précédents.
Et ainsi de suite.
Nous engageons les jeunes gens à se pénétrer du procédé que nous venons d'établir, et à tâcher d'en bien saisir l'esprit.
Nous allons en faire l'application à quelques exemples.
2S7. Soient les deux polynômes
a^d^—c^d- — a^c--i-c\ et 4^'d — lac- ~ ic^ — ^acd.
Le second polynôme est le seul qui renferme un facteur monôme : ce facteur est i. En !e supprimant et ordonnant par rapport à d, on obtient les deux nouvelles expressions
(rt^— c')r/^ — a''c'^-\-c\ et [ia- — iac)d — ac--^c^.
Il faut d'abord procéder à la recherche du commun diviseur indépendant de la lettre d.
Or, si l'on considère le coefficient «'— c^ et —a'^c'-hc* du premier polynôme, on observe que — a'r'-i-c* peut se mettre sous la forme — c'(û'— c'j, d'où l'on voit que a" — c' est facteur commun entre les
deux coefficients du premier polynôme. De même les coefficients du second, id^ — nac et — ac- + à^ reviennent à 2<7 (« — c) et — c-{a. — c); donc c — r est facteur commun entre ces coefficients.
Comparons maintenant les deux facteurs a}— c^ et a — c. Comme ce dernier divise l'autre, il s'ensuit que a — c est un facteur commun aux deux polynômes proposés; et c'est le plus grand diviseur indépendant de d.
Supprimons d'ailleurs a-— c' dans le premier polynôme, et u — c dans le second; on obtient pour les résultats de cette suppression d-— c- et 2ad — c^, polynômes auxquels il faut appliquer le procédé ordinaire.
d^ — c^ } lad — c- ^a-d- — 4'7V^ j iad-k-c-
lac'd — !\a-c^
Explication. — Après avoir multiplié le dividende par 40', et effectué deux divisions consécutives, on obtient pour reste — 4«'c'-+- c*, polynôme indépendant de la lettre principale d\ donc les deux poljTiômes n"— r^ et lad — c^ sont premiers entre eux. Ainsi le plus grand commun diviseur des polynômes proposés est a — c.
Reprenons le même exemple en ordonnant par rapport à a. Il vient, après la suppression du facteur 2 dans le second polynôme,
[d"^— c'^)a^— c^d--^ c\ et 2r/i7- — (2c<^-i- c*)a-^-c^
En jetant les yeux sur le second polynôme, on reconnaît facilement que les coefficients des diverses puissances de a sont premiers entre eux. Quant au premier polynôme, on observe que le coefficient —c^d^-i-c' du second terme, ou de a\ revient à — c^{d-— c-), d'oià il suit que d^ — r- est facteur commun aux deux coefficients ; et comme ce facteur n'entre pas dans le second polynôme, on peut le supprimer dans le premier sans en tenir aucun compte, comme ne faisant pas partie du commun diviseur.
Opérant cette suppression, puis prenant le second pohTiôme pour di%i dende et le premier pour diviseur (afin d'éviter la préparation), on a :
ida^ — 2rr/
Reste — 2 ce/
a -^ idc'
OU bien a — c
(en supprimant le facteur commun — 2 cd — c' ] ;
-4- ac — r'
Esplicatinn. — Après avoir efTccUié la première division, on obtient un reste qui renferme le facteur — -xcd — c^ dans ses deux coefficients; car 2 r/c'-f- c' = — c( — 2cr/— r'). Ce facteur étant supprimé, le reste se réduit à <? — c, polynôme qui divise exactement <-/' — c'.
Donc n — c est le plus grand commun diviseur cherché.
Les commençants feront bien de reprendre le même exemple en ordonnant par rapport à c.
258. Il existe un cas assez remarquable, dans lequel on peut obtenir le plus grand commun diviseur plus aisément que par le procédé général ; c'est celui où l'un des deux polynômes renferme une lettre qui ne se trouve pas dans P autre.
Dans ce cas, comme il est évident que le plus grand commun diviseur doit être indépendant de la lettre, il s'ensuit que, si l'on ordonne par rapport à cette lettre le polynôme qui la renferme, le plus grand commun diviseur clierclié sera le même que celui qui existe entre les coefficients des diverses puissances de la lettre ordonnatrice et le second polynôme, lequel, par hypothèse, en est indépendant.
A la vérité, on sera conduit, par ce moyen, à déterminer le plu? grand commun diviseur entre trois ou un plus grand nombre de polynômes; mais ceux-ci seront beaucoup plus simples que les polynômes proposés. Souvent même il arrive que quelques-uns des coefficients du polynôme ordonné sont des monômes, ou bien on reconnaît, à leur seule inspection, qu'ils sont premiers entre eux; et, dans ce cas, on est certain que les polynômes proposés sont aussi premiers entre er.x.
Ainsi, dans l'exemple (237), traité par le premier moyen, après avoir supprimé le facteur a — c commun aux deux polynômes, ce qui a donné pour résultats
d^—c'* et lad — c'^,
on reconnaît immédiatement que ces deux nouveaux polynômes sont premiers entre eux ; car le second renfermant la lettre a qui n'entre pas dans le premier, il résulte de ce qui vient d'être dit que le plus grand commun diviseur doit se trouver entre les coefficients id et — r' : or ces deux quantités sont évidemment premières entre elles; donc, etc.
Soient, comme application du cas que nous examinons, les deux polynômes
3 hcq -~- 3o mp -H 1 8 />c -t- 5 mj^q
TflCORlE COMPLÈTE DU PLL'S GRAND COMMUN DIVISEUR. 363
et
kadq — 47.fg -i- -i^ad— jfgr/.
Comme 7 est la seule lettre commune à ces deux polynômes (qui d'ailleurs ne renferment pas de facteurs monômes), on pourrait les ordonner par rapport à cette lettre, et suivre le procédé ordinaire. Mais observons que b se trouve dans le premier polynôme, et non dans le second; donc, si l'on ordonne le premier par rapport à b, ce qui donne
['icq H- 18 c)b -H 3o/i!jj -+- 5/>ij^r/,
on peut assurer que le plus grand commun diviseur cherché est le même que celui qui existe entre le second polynôme et les deux coefficients
3cq -+- l8c, "ionip J- buipq.
Or le premier de ces deux coefficients peut se mettre sous la forme 3c ( «7 — 6), et l'autre revient à 5/>ip{q -t- 6) ; d'où il suit que q -i- 6 est le seul facteur commun à ces deux coefficients. Il suffit alors de voir si g -h 6, qui est un diviseur premier, est facteur du second polynôme. Or ce polynôme, ordonné par rapport à q, revient à
( 4 «r/ — 7/0) q— j^ifg-^ 'j,^ad ;
et comme la seconde partie i^nd — ^ijg est égale à Qii^nd — y /g), il s'ensuit que ce polynôme est divisible par q -- G, et donne pour quotient ^ad — jfg.
Donc, enfin, </ -r- G est le plus grand commun diviseur des deux polynômes proposés.
2o9. Nous terminerons cette théorie par un rapprochement entre le procédé du plus grand commun diviseur relatif et celui du plus grand commun diviseur ordinaire, en traitant successivement par les deux procédés un exemple dans lequel les deux polynômes sont, non-seulement entiers par rapport à .r, mais encore par rapport aux autres nombres qui y entrent; parce que, dans la suite, nous aurons à opérer sur beaucoup d'exemples de ce genre.
Soient proposés les deux polynômes
Ç>x^ — ^x^ — 1 1 x^ — 3 .r- — "ix — I et
Tableau des calculs par le procédé du plus grand commun diviseur relatif.
\° Gx^— 4x' — iix'— Zx^ — 3.r — I j 4ar'-!- a^' — i8j:'-(-3jr — 5 — 7ar'-+-i6.r'— — a'-f- ^ jr — i \-x —"^
Donc
est le plus grand commun diviseur.
Tableau des opérations par la méthode ordinaire. 1° Multiplication par 16.
96^'— 64.T*— lyG^r'— 48j7=— 48jc— 16) 4j:*-^2j:' — I8Jr'-^- Sr — 6
Reste -4- 3i2x' — 624r'-+-i56x — 156
ou bien
2° 4 '*"' -f- 2 j:' — 1 8 x' -h 3 JT — 5 i 2 jc^ — ^x"^-^ X — I
-+- ïox^ — 2o.r--f- 5x — 5]ix -\- 5
Donc
est le /j//M grand commun diviseur.
En appliquant le procédé du n° 246 sans faire aucune préparation, on parvient, comme on le voit dans le premier des deux tableaux de calcul, au résultat
REMARQUE SUR LE PLUS GRAND COMxMUN DIVISEUR. 365
tandis que si l'on suit le procédé du n° 2o6 avec toutes ses modifications, on obtient
ax' — ^x--h X — I
pour le plus grand commun diviseur des deux polynômes. Or ce dernier résultat ne diffère du précédent que par le facteur -^i
qui est commun à tous les termes de celui-ci, et que l'on peut mettre en évidence.
D'où l'on voit que l'effet produit par l'application du procédé sans préparation est de donner le plus grand commun diviseur ordinaire qui existe entre les deux polynômes (qu'on suppose rationnels et entiers ) ; de le donner, dis-je, embarrassé de facteurs étrangers , mais indépendants de la lettre principale.
Or, comme nous le verrons par la suite, le principal objet qu'on se propose dans la détermination du plus grand commun diviseur de deux fonctions entières est de l'égaler à zéro pour en tirer les valeurs de la lettre principale : on conçoit donc que l'introduction de ces facteurs étrangers dans le résultat ne peut, en aucune manière, influer sur les racines de l'équation obtenue, puisque ces facteurs, étant indépendants de la lettre principale, peuvent toujours être supprimés dans cette équation.
Ainsi, dans ce cas, il est tout à fait indifférent d'employer ou de ne pas employer les modi6cations ; et lorsqu'on les emploie, c'est seulement dans la vue de simplifier les calculs.
Nous proposerons encore d'appliquer les deux procédés aux exemples suivants :
x^-'- 4-^^ — 3.r* — i6x' ^ II JT^-f- lao: ^ 9, Ç)X^ -T- 10 X* — iix^ — ^^x"^ -(-%ix -t- 12;
le plus grand commun diviseur simplifié est
10 x'^' — lax^ -I- i6x' — i5x^-^ i^x^ — i5j; -î- 4.
i5j:^ — 9x^-1-47-^^ — 2ij;-f-28; le plus grand commun diviseur simplifié est àx"^ — "ix -h 4.
366 cHAriinE vu.
§ ii. — tflansfonjiations des équations. — première partie : De i.'éliminatiox.
Nous nous proposerons de réunir dans ce paragraphe les principales transformations dont le but est de ramener la résolution d'une équation donnée à celle dune autre équation plus facile à traiter.
Première transformation.
