ÉVANOBISSEME^T DU SECOND TERME
calcul fait, à une transformée telle que
a'"— Q'«'"---H R'M""'-f-. . .+ Vu -!- 11' = o,
privée du second terme. Cette équation une fois résolue, on obtiendra les
valeurs de x qui correspondent aux valeurs de «, en remplaçant, dans la
relation
X = u ^ X . ou X = U — — 1 ' m
la lettre u par chacune de ses valeurs.
D'où l'on peut conclure cette règle générale :
Pour faire disparaître le second terme d'une équation, remplacez V inconnue par une nouvelle inconnue augmentée du coefficient du second terme pris en signe contraire et divisé par le degré de l'équation.
On peut reconnaître à posteriori que cette substitution- doit atteindre le but qu'on s'était proposé.
En effet, soient a, b, c, r/, . . . les m racines de l'équation donnée; il
résulte de la relation x ^ u ? qui donne u ~ x -^ , que les va-
ni m
leurs de u sont
u=^ a -. 1 OH 1 c H 5
la somme des nouvelles racines est donc
mais on a (242)
a -^ b -\- c -7- cl -^ . . . — P ;
la somme précédente se réduit donc à — P -f P, ou à o; ainsi le coefficient du second terme de la transformée doit être nul de lui-même.
N. B. — On a supposé le coefficient du premier terme de l'équation égal à l'unité; mais si l'équation était de la forme
kx"' -h P.r"'-' -H ...-+- Ta: -h U = o, en posant x — u -\- x\ on obtiendrait, pour le coefficient de «'""',
///Act'-h P, expression qui, égalée à zéro, donnerait
donc le dénominateur de la valeur de x' serait alors le produit du degré de r équation par le coefficient A du premier terme. Appliquons la règle précédente à l'équation
jT^-t- px — q.
Si l'on pose x = u — -■> elle devient
ou, effectuant les calculs et réduisant
U-—^^q\ donc U = rrz ^N-j- ~ q.,
par conséquent on obtient pour les deux valeurs de x correspondantes
^ = -f=WV-'7.
261. Au lieu de faire disparaître le second terme, on peut demander que l'équation soit privée du troisième, du quatrième, etc.; il suffit pour
cela d'égaler à zéro le coefficient de u'"~^, u"'~^, Par exemple, pour
chasser le troisième terme, on posera, dans l'équation transforniée cidessus,
m x'^ -r- [m — i]Vx' -h Q = o,
d'où l'on déduira pour x' deux valeurs dont chacune, substituée dans la transformée, la réduira à la forme
Au delà du troisième terme, il faudrait résoudre des équations de degré supérieur au second pour obtenir la valeur de x'; ainsi, pour opérer la disparition du dernier terme, on aurait à résoudre l'équation
qui n'est autre chose que la proposée, dans laquelle on a remplacé x par x'.
II peut arriver que la valeur x'= i qui (200) fait disparaître le
second terme, donne également lieu à la disparition du troisième ou d'un tout autre terme. Par exemple, pour que le second terme et le troisième
disparaissent à la fois, il faut que l'équation x' ^ puisse s'accorder
LOI DE FORMATION DES POLYNOMES DÉRIVAS. 36q
avec celle-ci
Or, si Ion remplace, dans cette dernière, .r' par - -, il vient
-i;---0 = o, ou [m-i)V'---imQ = o.
m — z — ini -^
Ainsi, foutes les fois que cetle relation existera entre les deux coefficients P et Q, la disparition du second terme donnera lieu à celle du troisième.
262. Remarque sur la transformation précédente. - Loi de formation des polynômes dérii'és.
La relation jr = u~ x\ dont nous nous sommes servi dans les deux numéros qui précèdent, indique que les raci^.c. de la transformée sont égales a celles de la proposée, diminuées ou augmentées d'une même quantité. Tantôt cette quantité est introduite dans le calcul, comme une indéterminée dont la valeur est ensuite fixée de manière à remplir une condition donnée; tantôt c'est un nombre particulier et donné à priori qui exprime une différence constante entre les racines d'une première équation et celles d'une autre équation que l'on veut former.
La transformation qui consiste à remplacer x par « + x' dans une équation est d'un usage très-fréquent dans la théorie des équations Or il existe un moyen assez simple dobtenir, dans la pratique, la transformée qui résulte de cette substitution.
Pour cela, intervertissons l'ordre des termes dans « n- x'; c'est-à-dire remplaçons x par x' -^ u dans l'équation
^ + P.r"-' -^ Qur--^ - R.r-^ -^ . . . -^- T j: -f- U = G ;
on trouve, en développant et ordonnant par rapport aux puissances ascendantes de «,
•r"" -(- mx""-' j u -f- m ^'"~^^ ^"«-2
+ Vx""-^^[m - i)Vx"'-' \ + m {m -i)^^"~^J p^'-a
-J- Tx' -r- T
Qx""-'
Al,.B. ^^
ù']0 CHAPITRE Vil.
Si l'on fait attention à la manière dont se composent les coefficients des diverses puissances de n, on verra que :
1° Le coefficient de lâ n'est autre chose que le premier membre X de kl pj-nposée, dans lequel on a remplacé x par x' . Nous désignerons dorénavant ce coefficient par X'.
2° Le coefficient de lù se forme au moyen du précédent ou de X', en multipliant chacun des termes de X' par l'exposant de x' dans ce terme, et diminuant cet exposant d'une unité. Nous appellerons Y' ce coefficient.
3° Le coefficient de ii^ se forme au moyen de Y', en multipliont chacun des termes de X' paf l'exposant de x' dans ce ternie, divisant le produit par a, et diminuant ensuite l'exposant de x' d'une unité. Si l'un
appelle — ce coefficient, il est clair que Z' se forme au moyen de Y',
comme Y' se forme au moyen de X'; et ainsi de suite.
En général, un coefficient de rang quelconque, dans la transformée ci-dessus, se forme au moyen du précédent, en multipliant clincun des termes de celui-ci par l'exposant de x' dans ce terme;, divisant le produit par le nombre des coefficients qui précèdent celui rjue l'or' rnii\i. dère, et diminuant ensuite V exposant de x' d'une unité.
TJ V Cette loi, d'après laquelle les coefficients X', Y', ' — -' • ■ ■ dérivent
les uns des autres, est évidemment une conséquence immédiate de celle qui régit les différents termes de la formule du binôme (U9).
Les expressions Y', Z', V, W',. . . sont appelées les polynômes dérivés de X', parce que Z' se déduit ou dérive de Y' comme Y' dérive de X'; V dérive de Z' comme Z' dérive de Y' ; et ainsi de suite. Y' est dit le premier polynôme dérivé, Z' le second, etc.; rappelons-nous d'ailleurs que X' n'est autre chose que le premier membre X de la proposée, dans lequel on a remplacé x par x' .
N. -fî. — On a supposé le coefficient du premier terme de la proposée égal à I : s'il était tout autre, la loi de formation des coefficients de la transformée serait absolument la môme ; et le coefiicient de «"• serait égal à celui de x'".
2(33. Pour faire connaître l'usage de cette loi dans la pratique, proposons-nous de fiiire évanouir le coefficient du second terme de l'équation
Il faut, d'après la règle du n° 2(30, poser
j: = « H — - > ou X = o +■ u.
LOI CE FORMATION DES POLY.NÔMES DÉRIVÉS. 3^ i
ce qui donnera une transformée du quatrième degré et de la forme
et tout se réduit à calculer X', Y', ^> -X . Or on a, en vertu de la loi précédente,
X'==(3]'-,2(3f-4-i7(3)^-9(3)'+7, ou X'=:-iio; Y'=4{3)^-36(3)^-f-34:3)'-9, ou Y'=-i-23;
1 = 6(3^-36(3)' -17, ou |--37,
-— = 4(3)1 — 12, ou -^ = o.
Ainsi la transformée devient
Soit encore proposé de transformer l'équation
en une autre dont les racines surpassent de V unité chacune des racines de la proposée.
Posons la relation u =x ^i\ il en résulte
X =z ll~ ï^
ce qui donne la transformée
X'-H Y'u -J u^-^ iu^ = 0.
X'^4(-i)'-5{-i)»H-7;i)'9, ou bien X'^-aS; Y'=i2(-i)--io(— i/-r- 7, OU bien Y'=29;
-- = i2(— ij'— 5, ou bien — = 17-
^-4, ou bien — = 4.
Ainsi la transformée devient
372 CHàPITRE VU.
On peut s'exercer sur les exemples suivants :
Faire éi'anouir le second terme dans les équations.
1° ar" — io:r*-4- 7x' -H 4-y — 9 = o.
Résultat : iv' — Z'i lâ — 1 1 8 «^ — 1 52 « — 78 — o.
2° 3.r^--t- i5j^-4- aSo: — 3 = o.
Résultat : 3 «' =- o ( w//- n" 261 ).
3° Transformer l'équation 3x* — i3^'-i-7j;=— 8jc — 9 = 0 en une autre dont les racines soient plus petites que chacune des racines de la
proposée, de la fraction -•
Résultat : 3u*— qu^— /[u- a — = o.
Nous aurons souvent occasion de rappeler la loi de formation des polynômes dérivés.
264. Ces polynômes jouissent d'une propriété très-remarquable que nous pouvons faire connaître dès à présent. Soient
X = o ou jt" -f-P^'"-'-^Qx'"-= -,-... ^^ o
une équation proposée, et a, b, c,..., l les m racines de cette équation; on a (239) l'équation identique
a;-"-f- Pu7"-'-}-...^(a: — rt)(.r — b)[x — f)...(x —l).
Cela posé, remplaçons x par x' -\- u, ou plutôt par x -h u (pour éviter les accents) ; il vient
(jT -t- u)"'-hV{x -h «)"■"'-!-. ..— {v-i-u~ a) [x -+■ u — b)
ou bien, changeant dans le second membre l'ordre des termes et regardant chacun des binômes x — a, x — b,. . . comme une seule quantité,
{v-{-u)"'-^V{x-hu)'"-^-{- ... = [u-i-{x — a)'] [u-i-[x — b)]. . .[u -f- (.r — /)].
Or, si l'on effectue les multiplications dans chacun des deux membres, on obtiendra d'abord pour le premier, en vertu de ce qui a été dit dans le numéro précédent,
