SECONDE TRANSFORMATION

26o. Une équation étant donnée, on peut toujours la transformer en une autre dont les racines soient égales à un multiple ou à un sous-multiple donné de celle de la proposée.

3^4 CUAPITr.E VII,

Reprenons l'équation

jf" -f- Px"-' -+- Q.r"'-' H- . . . -f- T.r -+- U = o,

et désignons par j l'inconnue d'une nouvelle équation donl les racines soient k fois plus grandes que celles de la proposée. Si l'on pose / = kx^ il en résulte

d'où, substituant et chassant le dénominateur k^ du premier terme, j"'-f- P/j"--' ^ Qf,'-y"'-^^ ^Pym-z^ , xA"-'^ + \jk^ ^ o,

équation dont les coefficients sont égaux à ceux de la proposée, multi plies respectivement par /.", /', X', /%. . ., k"".

Cette transformation est principalement utile ■çonr faire dhpnraftre les dénominateurs d'une équation sans donner au premier terme -d'autre coefficient que l'unité.

Soit, pour fixer les idées, l' équation du quatrième degré

aces

Si l'on fait, dans cette équation

y étant une nouvelle inconnue et k une indéterminée, il \ient , ak , ck' , ek' ^k'

Cela posé, il peut arriver deux cas :

Ou les dénominateurs b, d, /, h sont premiers entre eux : dans cette hypothèse, comme k est tout à fait arbitraire, posons X- = bdf/i, produit de ces dénominateurs ; il vient

y -^ adfhj^ ~ c h' dp /ry'-^ e b' d\p/i'f -^ gb' d\f* //' = o,

équation dunt les coefficients sont entiers, et dont le premier terme a pour coefficient l'unité.

On a d'ailleurs, pour déterminer les valeurs de x qui correspondent

aux valeurs de r, la relation .r = y^Tr • •^ ' bdj/i

Ou bien les dénominateurs renferment des facteurs communs; et l'on