I)ISPAK!TION DES DÉNOMINATEURS
rendra évidemment les coefficients entiers en prenant pour A- le plus petit multiple de tous les dénominateurs.
Mais on peut encore simplifier davantage, en observant que tout se réduit à déterminer h de manière que /', A', P^ . . . contiennent les facteurs premiers qui composent ^, d, /, h à des puissances au moins égales à celles qui entrent dans ces différents dénominateurs.
Ainsi soit l'équation
Posons j" -=-t5 il vient
fi
,5^ .,5P .2 7^^J .iMl- •^ 6 *^ 12 *^ i5o- 9000 "~ •
Soit fait d'abord /• égal à 9000, qui est multiple de tous les autres dénominateurs; il est clair que les coefficients deviendront des nombres entiers.
Mais si l'on décompose 6, 12, i5o et 9000 en leurs facteurs, on trouve
et en faisant simplement X- = 2 x 3 x 5, produit des facteurs simples différents, on obtient
d'où l'on voit que les valeurs de X, Ir, /', ^ contiennent les facteurs premiers 2, 3, 5, à des puissances au moins égales à celles qui entrent dans 6, 12, i5o et 9000.
Donc riiypothèse X = 2 x 3 x 5 = 3o suffit pour opérer la disparition des dénominateurs. Il vient, en effet, par la substitution
ou, réduisant,
:>■♦- 5.5.J-'— 5.3.5^j=— 7.2^3^5.7-l3.2.3^5 =-0, ou bien enfin
y' — ■2,5j^ — 3y5j'^ — i26o>- — 1170 = o. li y a des circonstances où l'on est obligé, dans l'expression de /•, d'aug-
menter l'exposant de l'un des facteurs premiers d'une ou de plusieurs unités; mais on doit sentir la nécessité de ne prendre pour À- que le plus petit nombre possible, autrement on obtiendrait une transformée dont les coeCQcients seraient extrêmement grands, comme on peut en juger en calculant la transformée résultant de la supposition de / — 9000 dans l'équation précédente.
Voici de nouvelles applications .
x = -^i d'où J- —
147= -iij-
43 I uoo 800
ou X := ^1
Oo
d'où
y' — 65j' -i- i8goj' — 30720/- — 928800J ^- 972000 = o.
266. Les transformations précédentes sont celles dont l'usage est le plus fréquent. Il en est encore d'autres assez usitées ; mais comme elles sont trop simples pour être traitées séparément, nous n'en parlerons que quand l'occasion s'en présentera.
En général, le problème des transformations doit être regardé comme une application du problème de Vélimination entre deux équations d'un degré quelconque à deux inconnues. En effet, une équation étant donnée, supposons qu'on veuille la transformer en une autre dont les racines aient avec celles de la proposée une relation déterminée.
Désignons par F( j:) =0 l'équation proposée (qui s'énonce fonction de x égale o), et par f{x,j) = o l'expression algébrique de la relation qui doit exister entre la première inconnue, x, et la nouvelle, /; la question se réduit à tâcher, au moyen de ces deux équations, d'en obtenir une troisième qui ne contienne que y : ce sera alors l'équation demandée. Lorsque l'inconnue x n'entre qu'au premier degré dans /(^, /) = o, la transformée est facile à obtenir ; mais si elle y est élevée à la seconde, à la troisième,... puissance, il faut avoir recours aux méthodes d'élimination.
Donnons une première idée de celte théorie qui joue un si grand rôle dans l'analyse algébrique.
DE l'élimixatiox. 377
Élimination. — Première Partie.
2Ô7. Eliminer une inconnue entre deux éciuations d'un degré quelconque à deux inconnues, c'est parvenir^ après une suite d'opérations exécutées sur ces équations, à une seule écjuation qui ne renferme que Vune des inconnues, et qui donne toutes les valeurs de cette inconnue, propres à vérifier les deux équations en même temps que des valeurs correspondantes de l'autre inconnue.
L'équation, fonction de Vune des inconnues, à laquelle on parvient, se nomme éciuation finale ; et les valeurs de l'inconnue, tirées de cette équation, sont appelées valeurs convenables.
De toutes les méthodes d'élimination connues, la méthode par le plus qrand commun diviseur est, en général, la plus expédilive; aussi c'est celle que nous allons développer ici.
Soient
F(jr,j)=^o, f[x,x).^o,
ou, plus simplement,
les équations proposées.
Supposons V équation finale en y obtenue, et tâchons de reconnaître quelque propriété des racines de celte équation, qui puisse nous servir à la former.
Soit X = S l'une des valeurs convenables de y. Puisque cette valeur vérifie les deux équations conjointement avec une certaine valeur de x, elle doit être telle que, si on la substitue à la fois dans les deux équations, qui ne renfermeront plus alors l'inconnue j, ces équations admettent au moins une valeur commune pour o:; et à cette valeur commune doit nécessairement (237) correspondre un commun diviseur en x. Ce commun diviseur sera du 'premier degré en x ou d'un degré supérieur, suivant qu'à la valeur particulière j = 6 il correspondra une ou plusieurs valeurs de x.
Réciproquement : toute valeur de y, qui, substituée dans les deux équations, leur donne un commun diviseur en jt, est nécessairement une valeur convenable ; car alors elle vérifie évidemment les deux équations en même temps que la valeur ou les valeurs de x tirées de ce commun diviseur égalé à o.
268. Remarquons d'ailleurs o^ avant aucune substitution les premiers membres des équations ne peuvent avoir de commun diviseur^ fonction
378 CIUriTRE VII.
des deux inconnues ou de l'une d'elles seulement, à moins que les équations ne soient indéterminées, ce qu'on ne suppose pas.
Admettons, en effet, pour un instant, que les équalions A - o, B - o, soient de la forme
D étant fonction de a: et dej>'.
En posant séparément D = o, on obtient une seule équation à deux inconnues, qui peut être satisfaite par une infinité de systèmes de vflrurs. D'ailleurs, tout système qui anéantit D rond également nids A'D, B D, et satisfait, par conséquent, aux équations
Ainsi l'hypothèse de l'existence d'un commun diviseur en x et )■ entre les deux polynômes A et B entraîne la conséquence que les équations proposées sont indéterminées, c'est-à-dire susce; tibles d'être satisfaites par une infinité de systèmes de valeurs de x et de y. Dès lors il n'y a pas lieu de déterminer une équation Jîncde en r, puisque le nombre des valeurs de>- est infini.
Si D était fonction de x seulement, oiî concevrait l'équation D = o résolue par rapport à .r; ce qui donnerait une ou plusieurs valeurs pour cette inconnue. Chacune de ces valeurs, substituée dans A' x D = o et B' X D ^ o en même temps qu'une valeur de r tout à fait arbitraire, vérifierait ces deux équations, puisque D devient nul par l'effet seul de la substitution de la valeur de x. Ainsi, dans ce cas, les deux équ.itions proposées admettraient bien un nombre fini de valeurs pour .r, mais une infinité de valeurs pour y\ et il ne pourrait alors exister d'équation finab en r.
Donc, toutes les fois que deux équations A -- o, B = o seront déterminées, c'est-à-dire toutes les fois qu'elles n'admettront qu'un nombre limité de systèmes de valeurs pour x et j)', leurs premiers membres ne pourront avoir de commun diviseur fonction des inconnues, avant aucune substitution particulière faite pour l'une d'elles.
N. B. — Le cas où A et B auraient un diviseur commun en y ne fait pas exception à la conséquence précédente, puisque alors il y aurait une infinité de valeurs de x qui correspondraient à chacune des valeurs de/ tirées de ce commun diviseur égalé à o.
209. De là il est aisé de conclure un procédé pour obtenir Véquation finale en y.
Puisque la propriété caractéristique de toute valeur convenable (S.Qy est que, substituée dans les premiers membres des deux équations, elle leur
DE L*ÉLIMINAT10>'. 879
donne un commun diviseur en x qu'ils n'avaient pas auparavant (à moins que les équations ne soient indéterminées, ce qu'on ne suppose pas), il s'ensuit que, si aux deux polynômes proposés et ordonnés par rapport à X on applique le procédé pour trouver le plus grand commun diviseur, on n'en trouvera généralement pas; mais, en continua /H V opération convenableme/it , on parviendra à un reste indépendant de x et jonction de y, qui, égalé à o, donnera r équation finale demandée ; car toute valeur dej>", tirée de cette équation, rend nul le dernier reste de l'opération du commun diviseur; elle est donc telle que, substituée dans le reste précédent, elle rend ce reste diviseur commun des premiers membres A et B. Ainsi chacune des racines de l'équation ainsi formée est une valeur convenable de /.
270. En admettant que l'équation finale fût complètement résolue, ce qui donnerait toutes les valeurs convenables, il faudrait ensuite obtenir les valeurs correspondantes de x. Or il est évident qu'il suffirait, pour cela, de substituer les différentes valeurs de r dans Pavant-der/iier reste, d'égaler successivement à o les polynômes en x qui en j'ésultertnent, et de tirer les valeurs de x de l'équation résultante; car ces polynômes ne sont autre chose que les diviseurs en x qui deviennent communs à A et B.
i\Iais comme l'équation finale est, en général, d'un degré supérieur au second, nous sommes forcé de renvoyer à un autre Chapitre la seconde partie de la théorie de l'élimination, laquelle partie a pour objet de déterminer tous les systèmes de valeurs propres a vérifier deux équatior.< d'un degré quelconque à deux inconnues.
Nous nous proposons également de revenir sur la méthode qui vient d'être exposée, parce qu'elle a quelques inconvénients auxquels il faut obvier. Mais notre but était principalement ici de faire voir comment, deux équations d'un degré quelconque étant données, on peut, sans supposer la résolution d'aucune équation, parvenir à une autre équation ne rcnjermant plus que l'une des deux inconnues qui entrent dans les proposées.
271. Si l'on avait trois équations (i), (2), (3) renfermant les inconnues x^y et z, pour obtenir V équation Jînale en z, c'est-à-dire l'équation qui admettrait toutes les valeurs de l'inconnue z, susceptibles de vérifier les trois équations en même temps que certaines valeurs de x et de y, il faudrait, en regardant y comme connu, éliminer x entre les équations (i) et (2), puis entre (i) et (3), d'après la méthode du n° 2G'J, ce qui conduirait à deux équations en jet z, auxquelles on appliquerait la même méthode pour éliminer y.
Même raisonnement pour quatre équations à quatre inconnues, etc.
38o CHAPITRE VII.
Pour le raomer.t, nous nous bornerons à uno seule application générale de la méthode d'élimination.
