Soit proposé le problème suivant

Une équation de degré ni à une seule inconnue étant donnée, on en demande une autre dont les racines soient une combinaison déterminée de deux quelconques des racines de la proposée.

Soit

af' - Px"'-' -'r- Qjf-'' -^ . . . -H T x -;- U -= o

l'équation proposée; appelons x\ x", x"\... ses racines, et désignons par u l'inconnue de la nouvelle équation.

Si nous considérons deux quelconques des racines de la proposée, par exemple x' et x'\ on doit avoir, par hypothèse,

(la lettre F, qui s'énonce fonction de. . ., exprimant ici un certain système d'opérations qu'il faut effectuer sur les deux racines x' et x" pour obtenir la valeur de u).

D'un autre côté, puisque x' et x" sont des racines de l'équation donnée, on doit avoir les deux relations

( 2 ) • x"" ^ fx""-' ~ Qx""-' -^ . . . 4- T j:' -- U = G,

Les équations (i), (a) et (3) peuvent donc être regardées comme les équations du problème; et toutes les fois que la nature de la combinaison ou de h fonction exprimée par la lettre F sera connue et définie, il suffira d'éliminer x' et x" entre ces trois équations. V équation finale en « sera l'équation demandée. En effet, le résultat, ne renfermant plus aucune trace des racines particulières x' et x\ conviendra indistinctement à toutes les racines x', x", x'", . . . , et aura, par conséquent, pour racine une combinaison (exprimée par le caractère F) de deux quelconques des racines de la proposée,

273. Cherchons, comme cas particulier de la question précédente, une équation dont les racines soient les différences entre deux quelconques des racines d'une équation donnée, et que l'on nomme, pour cette raison, Véquatiun aux différences.

Solution. — Soient

j/"-+- P.r"'-'-t-.. .— o l'équation proposée, .r', x", x"\... ses m racines, et appelons u la va-

FORMATION DE l'ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES. 38 1

leur d'une quelconque des différences

ce " — X ■ oc ^~~ oc . X "^^ ) "■ ' ' «^ . • • • ,

On a d'abord, en vertu de l'énoncé, cette première relation

D'ailleurs, x' et x\ étant des racines de la proposée, doivent y satisfaire, et donnent, par conséquent,

(2) x'"'-. Pa;""-'-H...= o,

il s'agirait donc d'éliminer x\ x" entre les équations (i), [i] et (3). Mais comme de la relation (i) on déduit

x" = x'-h u, d'où, substituant dans l'équation (3),

(4) (x'-h uY'-hV[x'-h u)'"-^^...^ o,

il s'ensuit que la question est ramenée à éliminer x' entre les équations (2) et (4).

Or l'équation (4) développée prend (263) la forme

et si l'on observe que X' n'est autre chose que x""-i- Vx""-^-i-. . . , expression qui doit être nulle d'après la relation (2), la dernière équation, débarrassée du terme X', et divisée ensuite par u, se réduit à

Donc, enfin, l'équation cherchée résulte de l'élimination de x' entre les deux équations

Ainsi, règle générale : Pour former V équation aux différences des racines d'une équation proposée, il faut éliminer x' entre l'équation X' = o qu'on déduit de la proposée en y remplaçant x par x \ et V équation qui résulte de la substitution de (x'-f- «) à la place de x, cette résultante étant d'abord débarrassée de son dernier terme X', et divisée ensuite par u.

N. D. — r Dans la pratique, on se dispense de mettre l'accent sur la lettre x, c'est-à-dire qu'on élimine directement x entre la proposée