Composition et forme de Pcquatinn aux différences
On peut reconnaître a priori^ pour toute équation du degré /», la forme et la composition de Vcquaticn aux différences des racines de cette crjualion.
Désignons toujours par x\ x\ x"\ ... les racines de la proposée, et observons que, si l'une des différences est x" — x\ il y en a nécessairement une autre, x' — x", qui ne diffère de celle-là que par le signe, c'eit-à-dire que, si a est une valeur de u, — y. en est nécessairement une autre, de même, 6 étant une racine, — S en est une autre; etc.
Donc l'équation en u peut être mise sous la forme
ou
[ir- a')(?i'-g^)(«^-7=)... :=o.
Donc cette équation est de degré pair, et, de plus, ne renferme que des puissances de degré pair de l'inconnue ; c'est-à-dire qu'elle est de la forme
iû''~V'u'"-^-i- QVr"-<-+-. . .H- T'u'-r-W= o.
Le degré 2n est d'ailleurs égal à m' m — i), ou bien (146) au nombre d'arrangements deux à deux que l'on peut faire avec un nombre m de lettres.
Si, dans l'équation précédente, on pose, pour simplifier, li' = z, elle devient
équation d'un degré sous-double, dont les racines sont les carrés des différences entre x', x", x'", ....
Car, en mettant dans la relation «'= z, à la place de u, ses différentes valeurs x" — x', x'" — x',, . ., on obtient
L'équation en z s'appelle Véqnation aux carrés des différences ; et on Ja considère ordinairement de préférence à l'équation aux différences, comme étant d'un degré sous-double.
Ainsi, dans l'exemple du numéro précédent, l'équation aux différences est du sixième degré, c'est-à-dire d'un degré marqué par 3(3 — i) = 6.
384 CnAPITRE VII.
Elle no renferme que des puissances de degré pair; et si l'on pose «j'= z.
elle devient
z^— 3Gc'-,- 3^4 z -*- 459 = o.
L'équation aux différences^ ou plutôt l'équation aux carrés des diffrrcnrcs, nous sera très-utile par la suite.
§ III. — Des équations susceptibles d'abaissement.
On comprend sous ce titre toutes les équations dont deux ou plusieurs racines ont entre elles des relations particulières et déterminées, parcf^ qu'en général on peut faire dépendre la résolution de ces équations d. celles d'autres équations de degré moindre : telles sont les équations qui ont des racines égales, c'est-à-dire dont le premier membre (210) contient des facteurs égaux.
Les méthodes qui se rapportent à ces classes d'équations s'appellent méihi)dcs cV abaissement, et doivent être regardées, jusqu'à un certain point, comme une branche de la transformation des équations, puisqvi> le but général de cette théorie est de ramener la résolution d'une équation à celle d'une équation plus simple.
Théorie des racines égales.
276. Dire qu'une équation a des racines égales, c'est dire (240) qr son premier membre contient des facteurs égaux ; dès lors, le premier polynôme dérivé, qui (264) est la somme des produits (m — i) à [m — i) des m facteurs de la proposée, renferme dans chacune de ses parties au moins une fois tout facteur qui entre plusieurs fois dans la proposée. Donc // doit exister un commun diviseur entre le premier membre de celle-ci et son premier polynôme dérivé.
Mais de quelle manière ce commun diviseur se compose-t-il au moyen des facteurs égaux de l'équation donnée? C'est ce qu'il s'agit maintenant d'examiner.
277. On demande de reconnaître si une équation a des racines égales. et, autcmt que possible, de déterminer ces racines.
Désignons par X le premier membre de l'équation
j7"'-T-P.r'"-'-+-0a:"'-' + ...-i-Tx + U = o;
supposons qu'il renferme n facteurs égaux à x — «, n' facteurs égaux à X — b, n" facteurs égaux à >c — c, . . . , et qu'il contienne en outre les facteurs simples x — p^ x — q, x — r,. . . ,en sorte que l'on ait
X ^{x — aY^x— b)"'{x — c)""...{x — p){x- q)[x - /•)....
