THÉORIE DES RACINES ÉGALES

Si l'on considère Y, ou le polynôme dérivé de X, on a vu (264) que ce polynôme est encore égal à la somme des (juotierds de la division de X par cluicun des m facteurs de la proposée. Or, comme X renferme n fac-

tours égaux ax — a^ on aura d'abord n quotients partiels égaux à ;

même raisonnement pour les facteurs x — b, x — c,. . .. D'ailleurs on

ne peut former qu un seul quotient égal a -^ -■> i ^i • • • •

iC — /J OC "^"^ (j JC /

Ainsi, Y est nécessairement de la forme V /?X «'X «"X XXX

D'après cette composition du polynôme Y, il est visible que {x — a)"-\ {x — b)"'-', [x — c)"'-',.., sont des facteurs communs à toutes les parties de ce polynôme; donc le produit [x — a)""' {x — b)"'"^ (.r — c )"""'.. . est un diviseur relatif de Y (230). D'ailleurs X renferme aussi évidemment ce diviseur; ainsi X et Y ont pour commun diviseur relatif

Je dis maintenant que c'est leur plus grand commun diviseur. En effet, les facteurs premiers de X sont x — a^ x — b, x — c,. . . et x — p, x — q, x — r,...; or Y ne peut avoir pour diviseur x — p, x — q, X — ^, . . . , puisque chacun d'eux entre comme facteur dans toutes les parties de Y, une seule exceptée.

Donc, enfin, le plus grand commun diviseur de X et Y est

D = (JT — a)"-' [x — b)"'-' {x — r-)""-'. . . ;

c'est-à-dire que ce plus grand commun diviseur est le produit des facteurs qui entrent plusieurs fois dans la proposée, élevés respectivement à des puissances dont les exposants sont moindres cVurie unité que dans la proposée.