De là on peut conclure la méthode suivante

Pour reconnaître si une équation X = o renferme des racines égales, iormez Y ou le polynôme dérivé de X, puis cherchez (246) le plus grand commun diviseur relatif entre X et Y; si vous n'en trouvez pas, l'équation n'a pas de racines égales ou de facteurs égaux.

Si vous en trouvez un, et que ce commun diviseur D soit du premier degré, ou de la forme x— h, posez

X — /( = o, d'où x ^ h\

vous pouvez alors conclure que l'équation a deux racines égales à h, et Mg. B. 2.5

386 CUAPITRE VIÎ.

n'a que cette seule espèce de racines égales, dont vous pouvez la débar rasscr en divisant X par [x — /<)^

Si D est du second degré en x, résolvez l'équation D = o ; il peut ai river deux cas : ou les deux racines sont égales, ou elles sont inégales.

1° Si vous trouvez D — (^ — // ]', vous pouvez en conclure que Céqiut tion a trois racines égales à //, et n admet que cette seule espèce de racines égales, dont VOUS pouvez la débarrasser en divisant X par (.r — hf.

1° Si D est de la forme [x — /i){x — /i'), c'est que la proposée a deux racines égales à /i, et deux racines égales à h\ dont on la débarrasse en divisant X par [x — hf[x — //')', c'est-à-dire par D-.

Supposons maintenant que D soit d'un degré quelconque, il faut, pour connaître les diverses espèces de racines égales et le nombre des racines de chaque espèce, résoudre coinplétenient l'équation D = o, <?/ toute racine simple ffe D = o sera double dans la proposée ; toute racine double de ]) = o sera triple dans la proposée; et ainsi de suite.

279. Appliquons cette méthode à quelques exemples. Reconnaître si l'équation

ix^ — iix''-~- iQx^ — 6x -i- 9 = o

a des racines égales, et les déterminer s'il en existe. On a (262), pour le polynôme dérivé,

Or, en appliquant à ces deux polynômes le procédé du plus grand commun diviseur, on trouve

c^ qui prouve que l'équation a deux racines égales à 3. Divisant son premier membre par [x — 3)^, on obtient

2j:'-!-i = o; d'où x^-±i-\J—-i.

Ainsi, l'équation est complètement résolue, et elle a pour racines

3, 3, H — ;/ — 2, et i/ — 2.

Soit pour second exemple

x^ — 2 a' -T- 3 .r^ — 7 jt' -t- ^x — 3 = o ; on a, pour le polynôme dérivé,

5x^— ix^-^ gj;'— \^x -^ 8,