THÉORIE DES RACINES ÉGALES. SS-J

et pour commun diviseur

x'^ — 2ar-)-i ou [x — i)';

donc la proposée a trois racines égales à i .

Divisant son premier membre par (-r — i)' ou par x^' — 'ix'-h 3x — i, on trouve pour quotient

x--h X -h 3 = o: dou X = ■ — — •

L'équation est donc encore complètement résolue. Soie kl iwuveUe équation

le polynôme dérivé est

yx'^-i- 3oA''^ So^" — 24-1''-" ^5x- — 6a: •;- 8;

et l'on trouve pour commun diviseur

L'équation x*-^ 3x^ -i- x^ — 3x — i =^ o ne peut pas être immédiatement résolue; mais en y appliquant la méthode des racines égales, c'està-dire en recherchant le plus grand commun diviseur entre le premier membre et son polynôme dérivé, ^x'^ -i- gx--i- -xx — 3, on trouve pour commun diviseur x ^-i\ ce qui prouve que x ~i entre au carré dans a:'-+- 3j;^-r- or- — 3j; — a, et au cube dans le premier membre de la proposée.

Si l'on divise a;*-r- 3a,-'-+- x" — Zx — i par [x -f- 1)" ou x^-f- ix -^ i, il vient pour quotient x -^ x — 2, polynôme qui, égalé à zéro, donne les deux racines x — i^ x = — 2, ou les deux facteurs x — i et x -r- 2. On a donc

j:'-4- Sjc'-I- x"^ — "ix — 2 = ( J7 -!- \)'[x — i) (.r H- 2).

Ainsi le premier membre de la proposée est de la forme

ou bien, en d'autres termes, l'équation a trois racines égales à — i, deux égales à -r- 1, et deux égales à — 2.

Voici de nouvelles applications :

1° x' — yx^-f- lox^-H 2207*— 43a:'— 35a.- -1- 48a: -i- 36 = o.

388 cnAPiinE vu.

2° x' — 3x' — gj:^ — iç)x* -+- 27 j:' — 33 J:' H- 7.yx — 9=0,

(x — iy[x'-h3Y= 0.

280. Lorsqu en appliquant la méthode précédente on obtient une équation D = o d'un degré supérieur au second, comme cette équation peut elle-même être soumise à la méthode, on parvient souvent ainsi à opérer la décomposition de D — o en ses facteurs ; et Ton connaît par ce moyen les différentes espèces de racines égales de l'équation X = o, ainsi que le nombre des racines de chaque espèce. Quant aux racines simples de X = o, on commence par dégager cette équation des facteurs égaux qu'elle renferme; et l'équation résultante, étant résolue, fait connaître ces racines simples.

Les racines égales de X = o ne peuvent pas toujours être découvertes immédiatement : c'est ce qui arrive, par exemple, lorsque D n'a que des racines simples et surpasse le second degré, auquel cas chacune des racines entre deux fois dans la proposée: et l'on ne peut les obtenir qu'en résolvant l'équation D = o d'après des méthodes que nous exposerons ultérieurement.

281. Mais, pour ne rien laisser à désirer sur cette matière, nous allons faire voir que, quelle (jue soit Véqualion proposée, si elle a des racines égale s,o/; peut toujours faire dépendre sa résolution de celle d'une suite d' équations dont la première n'admet que les racines simples de la proposée, une seconde les racines doubles (c'est-à-dire les racines qui y entrent deux fois), une troisième les racines triples, etc.

En effet, soit X = o l'équation proposée, et désignons par X' le produit des facteurs du premier degré qui correspondent aux raciues simples; par X" le produit des facteurs du premier degré correspondant aux racines doubles; par X'", X",. . . le produit des facteurs correspondant aux racines triples, quadruples,. . .; en sorte que l'on ait

il résulte de ce qui a été dit (277) que le plus grand commun diviseur entre X et son polynôme dérivé Y est de la forme j

puisque les facteurs égaux de la proposée doivent entrer dans D à i: : puissance dont l'exposant est moindre d'une unité que dans la proposée.

Cela posé, opérons sur D comme nous avons opéré sur X, et désignon.-