THÉORIE DES RACINES ÉGALES

par D' le plus grand commun diviseur qui existe entre D et son polynôme dérivé. On a

On trouverait de même, en opérant sur D' comme on a opéré sur D et X,

D"=X"X^=..., et enfin D"'=X\...

(Nous supposerons, pour fixer les idées, que 5 soit le plus grand nombre de fois qu'une même racine entre dans l'équation proposée, c'est-à-dire que l'équation D'" = o n'ait que des racines simples.)

Actuellement, si l'on divise successivement X par D, D par D', D' par D", D" par D'", et qu'on désigne respectivement par Q, Q', Q", Q'" les quotients obtenus, on pourra former le tableau suivant :

D' =: x"'X'^-^x^^ ^ - ^ - ^ ! Ql ^ ^. ^

D'où Ion voit que, par le moyen de trois systèmes d'opérations, savoir : une série d'opérations du plus grand commun diviseur et deux séries de divisions, on parvient à isoler successivement les facteurs X', X", X'", X" et X", qui, égalés séparément à zéro, donnent, le premier, les racines simples, le second les racines doubles, etc.

Il est à remarquer d'ailleurs que le degré de X' = o exprime le nombre des racines simples de la proposée ; le degré de X" = o le nombre des racines doubles ; celui de X"'= o le nombre des racines triples, etc.; et la résolution complète de ces équations fait connaître les différentes espèces de racines simples, doubles, quadruples, etc.

Ainsi la méthode des racines égales n'est pas, en général, une méthode de résolution complète, mais bien une méthode d'nbaissemcnL Ce n'est que dans le cas où les équations X'= o, X"= o, X"'= o,. . . ne sont que du premier ou du second degré qu'on peut obtenir immédiatement toutes les racines de l'équation proposée.

282. On peut appliquer la théorie des racines égales à la recherche des relations qui doivent exister entre les coefficients d'un polynôme

Sgo CHAPiini: vu.

en .r du flouxièmc, du troisième, etc., degré, pour que ce polynôme soil un carré, un cube, etc., parfait. Il suffit, pour cela, de former le polynôme dérivé du polynôme proposé, puis d'exprimer (277) la condition nécessaire pour que ce polynôme dérivé soit diviseur relatif du polynôme proposé.

Soit, par exemple, le trinôme du second degré ax^--h bx -^ c, dont le polynôme dérivé qsI inx ^ b:

lox'' -^ ibx -\- le \ lax -i- b

bx -+- ic inbx -i- 5^nc

En appliquant à ces deux polynômes le procédé du plus grand commun diviseur avec ses modifications (239), on trouve pour reste ^ac — b^-^ et si l'on suppose

4«f — b'-=o, ou /;-— 4fif<?=:o,

irtx -h b sera le plus grand commun diviseur entre ax--^ bx -h c ei son dérivé, qui n'est autre chose que inx -f- b lui-même. Ainsi, sous la condition b- — 4'7c = o, on peut regarder ax'-h bx-^- c comme le carré de -xax -:- b, à un facteur quelconque près, indépendant de x.

On a vu, en effet (112), que P— ^ac = o est la condition nécessaire et suffisante pour qu'un trinôme du second degré soit un carré parfait.

Soit encore le polynôme

nx^-^ bx--i- ex -^ d, dont le dérivé est

3rta;--r ibx H- c;

en cherchant leur plus grand commun diviseur, on trouve pour reste

(6(7c — 2^').r -+- Ç)nd — bc.

Or, si Ton écrit que ce reste est nul, on établit la condition que Sax^H- ibx-h c est commun diviseur entre le polynôme et son dérivé; mais ce reste doit être nul, quelle que soit la valeur de x. Ainsi (180) on a séparément

6nc — ib'=o, gad — bc = o.

En effet, la première de ces deux conditions donne

c=-—; et la seconde, d — — = -;

AUTRES APPLICATIONS DU PLUS GR\>"D COMMUN DIVISEUR. SqI

d'où, substituant dans le polynôme proposé,

ax -- bx- -r- ex -^ a^= a\ .xr h — x- -}- - — :, x -i r i = a [ x -^- ■—-

\ a oa- '-^7 " ; \ if

Même raisonnement pour les polynômes du quatrième, du cinquième, etc., degré.

N. B. — Les deux relations Ç)ac — iO^ = o, ç^ad — bc — o entraînent nécessairement la condition que le dérivé Zax^ -^ ibx -\r- c soit un carré par/ail ; car si les deux facteurs du premier degré en x, dont il se compose, pouvaient être inégaux, comme, d'après la théorie des racines égales, ces facteurs devraient se trouver à la deuxième puissance dans le polynôme proposé, il faudrait alors que celui-ci fût au moins du quatrième degré, tandis qu'il n'est que du troisième.

Et, en effet, la condition pour que 3ax'-t- ibx -h c soit un carré parfait est, comme on Ta vu tout à l'heure,

[iby -— /\.3ac = o, ou b^~3ac = o;

et cette relation rentre dans la première des deux relations ci-dessus.

Autres aj>plications de la ihénric du plus grand commun diviseur.

283. Le procédé du plus grand commun diviseur sert encore, dans d'autres cas, à abaisser le degré d'une équation : tel est celui oià l'on donne d'avance une certaine relation entre deux des racines de l'équation proposée.

Soit, pour fixer les idées, l'équation générale

(i) a-"'-T-P.r"-'-t-Qx^-='H-...--T.r4-U = o,

et supposons qu'entre deux des racines o et ^ on ait la relation b =z ko -\- h [k et // étant des nombres connus et donnés à priori).

Puisque l'équation (i) doit être satisfaite par les deux quantités a et ka -+- h, il s'ensuit que, si l'on met dans cette équation kx h- /i à la place de o-, ce qui donne la nouvelle équation

(2) [kx -r- hY'-^Y[kx -r- /l)""' -r- . . . -r- T {k X -i- /l ) -^ \] = O,

les équations (i) et (a) doivent être satisfaites par une même valeur a; donc (237) il doit exister un commun diviseur relatif entre les deux premiers membres.

Ainsi, en appliquant à ces deux polynômes le procédé du plus grand commun diviseur relatif, et égalant à zéro le diviseur obtenu, on en ti-"

3g2 CDAriTRE VII.

rera la valeur de la racine a. Celte valeur, substituée dans la relation b —ha -¥ //, fera connaître la valeur correspondante de h.

Si ce commun diviseur est du premier degré en j:, on peut en conclure que deux racines seulement de l'équation ont entre elles la relation donnée. Si ce diviseur est du second degré, c'est qu'il existe deux couples de racines qui jouissent de cette propriété; et leur détermination ne présente encore aucune difficulté. Après quoi, l'on pourra diviser le premier membre de la proposée par chacun des facteurs du premier Jegré qui correspondent aux racines obtenues.

En général, soit D le commun diviseur auquel on est parvenu. La résolution de l'équation proposée ne dépend plus que de la résolution de l'équation qu'on obtient en divisant le premier membre de la proposée par chacun des facteurs du premier degré qui correspondent aux racines de D = o et à celles qu'on a déduites de la relation b — ka -^ h.

Soit, par exemple, l'équation

x^ — laor'-i- 48-c' — 7; j: -;- 3o ^ 0,

dont nous supposerons que deux des racines a et b sont liées par la relation b — 2 « -f- I .

En mettant ix — i pour x dans la proposée, et développant les calculs, on obtient, toute réduction faite,

Sx' — "iix^^- 36a:- — -.r — 1 = o.

Appliquant aux premiers membres de cette équation et de la proposée le procédé du plus grand commun diviseur, on parvient au diviseur relatif X — 2 ; ce qui donne

X — -2. = o\ d'où X = 1 ou fl = 2.

Cette valeur de <?, substituée dans la relation b= ia-^\, donne ensuite b = 5.

Le premier membre de la proposée est donc divisible par

[x~i)[x — 5) ou x^—yx-T-iOj

et, en effectuant cette division, on a pour quotient

.r'— 5.r -+- 3 = 0, d'où x^-zh-Jii.

L'équation proposée se trouve ainsi complètement résolue.

DES ÉQUATIONS RÉCIPROQUES. SqS

Des équations réciproques.

284. Parmi les équations susceptibles d'abaissement, on distingue particulièrement les équations dites réci}>ro(jues ; ce sont celles qui restent

les mêmes lorsqu'on y change x en -•

Ainsi, par exemple, toute équation de la forme

Jc'" -i- px"'~' -h qx"'~- -:-... -H f/.ir' ~h px -h l = O,

c'est-à-dire telle que les coefTicienfs des termes à égale distance des extrêmes soient égaux entre eux, est une équation réciproque; car si

l'on y remplace x par -; elle devient

d'où, en multipliant para:'" et renversant l'ordre des termes,

x"^ H- px"'~' -+- qx"'~'^ -i- . . , -i- qx"^ -4- px -1-1 = 0,

équation identique avec la proposée.

La dénomination de récipi-oques, donnée à ces équations, vient de ce

que, si l'on suppose que a est racine, - l'est n^'cessairement aussi.

285. Afin de pouvoir assigner la forme générale des équations réciproques, nous considérerons successivement le cas où l'équation est de degré impair, et celui où elle est de degré pai7\

Premier cas. — Soit une équation quelconque de degré impair

{ I ) x"-"^^ -I- px-" ~ qx^"'' -i- . . . -.- sx^ -+- tx -h u ~ o.

Pour que cette équation soit réciproque, il faut, d'après la définition, qu'elle reste la même lorsqu'on y remplace x par -• Effectuons cette substitution; il vient

d'où, multipliant par a:-"+', divisant par u et renversant l'ordre des termes,

(2) ^2"+' H- -a-» H- :lx-«-'-i-... + ^^'+ ^-x + - = 0.

Il u u u u

394 onAPîTnF. vu.

Or, pour que les équations (i) et (2) soient identiiiues entre elles, il faut et il suffit que les coefficients des mêmes puissances de x soient égaux, c'est-à-dire que l'on ait les relation?

On déduit de la dernière

ir — I , d'où u = ±:.\:

et si l'on prend d'abord' la valeur // - i , il en résulte

t = Pi s r~ rj.. . . , <7 = V, p = t.

Prenant ensuite la valeur u ^ — i , on trouve

d'où l'on voit qu';/«<? équation ch; dc^ré impair est réciprofjue quand les coefficients des termes à égale dislance des extrêmes snnt égaux et de même signe, ou bien égaux et de signes contraires. Elle ne peut d'ailleurs être réciproque que dans l'un ou l'autre de ces deux cas. Second cas. — Soit une équation quelconque de degré pair

(3) x^" -^ p x'^"~^ — qx^"~'-~.. . .-h rx"-^. , . - sx'-i- tx — u = o.

(Dans ce cas, comme le nombre totiil des termes est 2/? -i-i, le terme rai' est à égale distance des deux extrêmes.)

Remplaçons x par - dans cette équation ; il vient

d'où, multipliant par x^", divisant par u et renversant l'ordre des termes,

( 4 ) X-" ^- - x'"-' -^ - x^'-- -, ...-■-- a-" ^ ... -f- ^ X- -:- ^ X -:- - = o. ^^' nu u u u u

Or, pour que les équations (3) et (4 ) soient identiques entre elles, il faut et il suffit que l'on ait les relations

La dernière revient à

m' = I , d'où u = — 1,

DES ÉQUATIONS RÉCIPROQUES. SqS

Cela posé, pour la première valeur u — ~~\, on trouve

t = p, s = r/,..., r =/•,..,, rj=s, p = t,

et, pour la seconde u = — \,

t= — p, s = —q..... r--=r,..., rjT= — s, p^ — t,

égalités dont celle du milieu, /• - - — r, ne peut exister, à moins qu'on ne suppose /• = 0.

Donc tnite équation de degré pair est réciproque iowles les fois : i° que les coefficients des termes à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe; 2" que, le terme du mileu manquant dans Véquatinn, les coefficients des termes h égale distance des extrêmes sont égaux et de signes contraires. L'une ou l'autre de ces deux conditions est d'ailleurs nécessaire.

286. Passons actuellement à la résolution de ces sortes d'équations, et supposons d'abord qu'il s'agisse d'une équation de degré pair, telle que les coefficients des termes à égale distance des extrêmes soient égaux et de même signe.

Nous prendrons, pour fixer les idées, une équation du huitième degré; mais on reconnaîtra aisément que la même méthode s'appliquerait à toute autre équation satisfaisant à l'hypothèse établie.

Soit donc l'équation

(i) x*-i- px'' -h qx'^-i- rx^-~ sx* -î- rx^ -h qx^-r- px -i- i = o,

et posons, dans l'équation (1),

On est conduit à cette transformation par la remarque suivante. Puisque les racines sont réciproques deux à deux, il s'ensuit que l'on

connaît les produits r/ x -> Z» x y' t- ><-;•• • des rarines réciproques

'■ abc

(chacun de Ci!S produits est égal à 1) ; ii suffirait donc (ll-i), pour obtenir

les deux racines « et -5 on b et -1 ■ ■ • ^ de connaître les sommes a ~ -■> ai) a '

^ -^ -, ' ou, ce qui revient au même, les valeurs de la fonction ^ -^ -•

Cela posé, si l'on divise l'équation (1) par x\ et qu'on rassemble les termes affectés des mômes coefficients, il vient

la difficulté est ainsi réduite à exprimer en fonction de z les quantités

Or on a, en général, équation d'où l'on déduit, en y remplaçant x -\ — par 3,

formule qui donne l'expression ;c"'+' -i- -—7, au moyen des deux expressions semblables de degrés immédiatement inférieurs, m et m — i. Soit fait successivement

/M = 1, 2, 3, 4, 5,...; on trouve

et ainsi de suite à l'inGni.

En un mot, ces expressions forment (J83), à partir de x' a — r.^ une

série récurrente du second ordre, dont l'échelle de relation est (z, —1). Il ne s'agit plus maintenant que de substituer dans l'équation (3), à la

place de j:^-r — -, x^ -\ — . , x'' -\ — -■> les valeurs qu'on vient d'obîenir; x' x" X*

ce qui donne, pour l'équation résultante,

z' — 4 2' -^ 2 -f- /^ ( z' — 3 2) -I- 7 ( 3' — 2 ) + r 2 H- * = o, ou, réduisant et ordonnant par rapport à z,

z*H-/;z'+ [rj — Ji)z'^ (,-3/,)3 2^^2^.y= o, équation d'un degré sous-double de celui delà proposée.

DES ÉQUATIOXS RÉCIPROQUES. 897

Donc la résolution de toute équation de degré pair telle, que les coefficients des termes à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe, peut être ramenée a la résolution d'une équation de degré sousdouble.