Considérons, en second lieu, l'équation de degré impair

x^''*'^ -^ p X-" -\- qx"~^ -T-. . .-I- cpœ'^-^ px -r- i z= o,

dans laquelle les coefficients des termes à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe.

Il est d'abord visible que — i est racine de cette équation ; car le premier membre devient, par hypothèse a- = — i,

donc ce premier membre est divisible par x -h i.

Je dis de plus que le quotient est un polynôme réciproque de degré pair, dont les coefficients à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe.

En effet, on voit bien clairement que, si l'on divise soit

x"^"^^ -\- px'^-h qx'^"'^ -^ . . .-^ qx^ -^ px -\- i par x-j-i, soit

I -+- px -4- qx' -\- . . .^- qx^"~^ -h px''" -+- x'"-^' par i -f- .r,

les coefficients des termes de même rang dans les deux quotients sont nécessairement égaux (il suffit d'ailleurs d'effectuer les deux divisions pour s'en convaincre); mais le second quotient n'est autre chose que le premier obtenu dans un ordre inverse : donc il faut nécessairement que les derniers coefficients du premier quotient soient deux à deux égaux aux premiers.

Il résulte de là qu'après avoir divisé le premier membre de la proposée par .r -t- I on obtiendra une équation réciproque de degré pair, de même forme que celle du numéro précédent, et qu'on résoudra de la même manière.

288. Il nous reste encore à considérer les équations, de degré pair ou impair, dont les termes à égale distance des extrêmes ont des coefficicnis égaux et de signes contraires.

Soit l'équation

x"^-\- pjf"~^ -+- q.lf"'' — ... — qx'' — px — 1 = 0.

[Il n'y a point ici de terme du milieu, parce que, si m est impair, le

SgS CHAPITRE VU.

nombre total des termes, /// -hi, est pair, et si /// est pair, le terme du du milieu doit manquer (285, -i' cas) pour que l'équation soil réciprfHjue.']

Cela posé, il est encore visible que l'équation proposée est satisfaite par X = -r- 1; donc le premier membre est divisible par x — i.

Or, si l'on divise

1° x"'-~ pjf~* -h qx"-^ ->-...— qj'- — px — l par x — ï,

%° — 1 — px -~ qx"^ — . . . -'- qjf"''' -i- pxf"'^ — xf" par — I -r- a-,

ou, ce qui revient au môme (en changeant les signes),

\ — ])X ^ qx- ~ . . .— qaf'^''^ —■ px"'~^ — jcf" par i — x,

on devra obtenir, pour les termes de même rang dans les deux quotients, des coefficients absolument identiques (ce qu'on peut d'ailleurs aisément vérifier en effectuant la division).

Donc le premier quotient est nécessairement un polynôme dont les termes à égale distance des extrêmes ont des coefficients égaux et de même signe ; ainsi ce polynôme rentre dans l'un des deux cas précédemment examinés.

N. B. — Dans l'hypothèse qui nous occupe actuellement, si l'on suppose que m soit pair, comme, en divisant le premier membre de la proposée par a: — I, on obtient un quotient de degré impair dont les coefficients sont égaux et de même signe, ce quotient est lui-même divisible par x-^i (287). Ainsi le premier membre de la proposée est divisible par [x — \) [x ^ i) ou x'-~i, et le quotient est un polynôme de degré pair qui rentre dans la classe de ceux déjà traités (2S6).