i- 24 = 67, et

Voici le tableau des calculs algébriques :

Soit x le plus petit nombre; x -i- 19 est le plus grand.

ta

Éq. : IX -f- 19 = G7, d'où ix = 67 — 19 ^^ 48 ; donc jt = — -= 24,

et, par conséquent,

Eq effet,

Autre mode de i-ésnltitinn.

Soit X le plus grand nombre, x — 19 est le plus petit.

Éq.:2.r — 19 = 67, d'où 2.r = G7 -f- 19 = 86 ; donc x — — = 45,

et, par conséquent,

On voit par là comment, à l'aide des signes algébriques, on parvient à comprendre dans un cadre très-resserré les raisonnements qu'on est obligé de faire pour résoudre un problème; raisonnements qui, écrits en langage ordinaire, exigeraient souvent une ou plusieurs pages.

Résolution générale de ce problème.

4. La somme de deux nombres est a, leur différence est b. On demande de trouver les deux nombres.

Soit X le plus petit nombre, x — h désigne alors le plus grand. Éq. : 2^-f- Z)— <7, d'où ix ~ a — h\ donc, x--- • = ,

et, par conséquent,

Comme la forme de ces deux résultats est indépendante de toute valeur particulière attribuée aux lettres a et Z*, il s'ensuit que, connaissant la somme de deux nombres et leur différence, on obtiendra le plus grand nombre en ajoutant la demi-somme à la demi-différence , et le plus petit, en retranchant de la demi-somme la demi-différence .

Ainsi, que la somme donnée soit 287, et la différence 99. le plus grand est

—^ -h — , ou — ^ = - — = 168,

et le plus petit, En effet,

— ^ — ^H, ou — = 60, 22 2 -^

On conçoit, d'après la question précédente. Futilité des lettres pour ■ représenter les données d'un problème. Comme on ne peut qu'indiquer sur ces lettres les opérations de l'Arithmétique, le résultat auquel on parvient conserve la trace des opérations qu'il faut effectuer sur les quantités connues pour obtenir les valeurs des quantités que l'on cherche.

Les expressions - -i- - et j auxquelles on est parvenu dans le

problème précédent, s'appellent, en Algèbre, àQ'è formules, parce qu'elles peuvent être regardées comme comprenant les solutions de toutes les ([uestions de môme nature, dans l'énoncé desquelles on fait seulement varier les valeurs numériques des données.

On nomme, en général, solutions d'un problème les nombres susceptibles de vérifier son énoncé.