DEUXIÈME QUESTION. — THÉORÈME

5. La somme de deux nombres multipliée par leur différence donne pour produit la différence des carrés ou des secondes puissances de ces deux nombres.

Ainsi, soient 12 et 9 ces deux nombres; leur somme est 21, et leur

différence 3. On reconnaît que le produit 21 x 3 ou 63 est égal à i44» qui est le carré de 12, diminué do 81, qui est le carré de 9.

Mais, pour mettre en évidence cette propriété, quels que soient les deux nombres, représentons ces nombres par les lettres a etb. La somme sera exprimée par n -+■ b, et la différence par n — b.

Pour former le produit do ces deux expressions, on supposera d'abord que l'on ait à multiplier la somme a -;- b par a, et le produit sera ff ^< n +■ b >< a, ou plus simplement, «^ -h ah : car il faut prendre chacune des deux parties dont a -i- b est composé, autant de fois qu'il y a d'unités dans <?, et ajouter les deux produits. Mais ce n'est point par a tout entier qu'il fallait multiplier, c'est par a diminué de b; ainsi le produit a^ H- ab est trop fort du produit de a -\- b par b, c'est-à-dire de ab -f ^^ 11 faut donc retrancher ab -+- b^ du produit précédent n- -i- ab, ce qu'on indiquera algébriquement de cette manière : n^ -+- ab — ab ~ b'. Comme d'ailleurs les deux produits -\-ab, —ab, se détruisent réciproquement, il vient enfin c? — b"^ pour le produit demandé.

Ce résultat «'— b"^ ayant été obtenu indépendamment de toute valeur particulière attribuée à a et b, il s'ensuit que le théorème énoncé est pour deux nombres quelconques.