X -\ — = 3, d'où x'^ — zx -- I --- o

.r'-)-2H — i = 2^ ou x--i — z^—1.

Reportant ces valeurs de .z- h- - et de .r'-t- — dans l'équation, on obtient

z^ — 2 -H 2 -t- 1 = o, ou, réduisant,

D'ailleurs l'équation x'' — zx ~ i — o donne

- = -±-v/--4; donc, en substituant à la place de z ses deux valeurs, on a, toute réduc-

4oO CHAPITRE VII.

tion faite,

L'équation x'"— i = o peut encore être résolue complètement par le même moyen.

En effet, on a

On connaît déjà les racines de l'équation j:* — i = o; quant à celles de l'équation r'-r-i = o, comme, par l'échange de jt en —jc, elle devient jc'-i- 1 = o, on voit que tout se réduit à prendre avec des signes contraires les racines de cette dernière équation.

§ IV. — Théorie des fonctions symétriques.

Pour compléter l'ensemble des matériaux nécessaires à la résolution des équations d'un degré quelconque, il nous reste à exposer une des théories les plus curieuses et les plus importantes de l'Analyse : c'est la théorie des fonctions symétriques. L'illustre Lagrange en a fait la base d'une méthode pour résoudre les équations du troisième et du quatrième degré.

(Les candidats à l'École Polytechnique peuvent, sans inconvénient, passer ce paragraphe, que nous n'avons placé ici que pour nous conformer à la marche précédemment tracée.)

291. Ou appelle fonction sj métrique des racines d'une équation toute expression algébrique qui renferme ces racines combiné(S de la même manière, soit entre elles, soit avec d'autres quantités. Ainsi la somme a -^ b -^ c ~. . .^ i -^ l des racines d'une équation, la somme ? ab ^ ac ^ ad -\-. ..^ il de leurs produits deux à deux , la somme abc -I- abd-\- . . . de leurs produits trois à trois,. . . sont dites ûss> fonctions symétriques des racines.

Le caractère distinctif d'une fonction symétrique de diverses quantités est qu'e//e conserve la même valeur numérique, quelque permutation que ion fasse subir à ces quantités.

Nous avons déjà vu {2i2) que, P, Q. R,..., T, U étant les coefficients d'une équation, on a. entre les racines et les coefficients, les relations

rt -f- Z» -i- f -h . . . = — P, ab -^ ac -^ ad -^ . . . — Qi abcd. . . = rfc U ;

nous allons voir maintenant que toute fonction symétrique rationnelle de