SOMMATION DES PUISSANCES SEMBLABLES DES RACINES, ETC

ces mêmes racines peut être exprimée également au moyen des coefiBcients de l'équation.

292. Sommes des puissances semblables des racines iCune équation. — Les plus simples des fonctions symétriques, celles au moyen desquelles on peut, comme nous le verrons, former toutes les autres, sont les sommes des puissances semblables des racines, telles que

et, en général.

if^b^-h

n étant un nombre entier quelconque.

Or je dis que , sans connaître les racines, il est possible d'exprimer les sommes de leurs puissances semblables au moyen des coefficients P, Q, Rj. . ., qui sont des quantités connues.

Soit, en effet,

Qjc"

^yfn-Z

l'équation proposée; et désignons ses racines par «, b, c, d, Si l'on

divise successivement le premier membre par chacun des m facteurs du premier degré, a: — a, x — b, x — c, on obtiendra (238), pour les différents quotients,

jfn-2^^j2

af-

-h Va

^- Va' -t-R

-h Va"'-^ -^Qa'"-^ -f- R«'"-* -+-

-r-Vb'

-^Qb -f-R

-hVb'"-'

et, ainsi de suitCi pour chacun des facteurs x — c, x — d,. . .. Maintenant, si l'on fait la somme de ces m quotients, et que l'on pose.

4o2 cnAPiir.'? VII.

pour plus de simplicité,

fl^+ /,' ^ c' --..

fl"-' -H ^'"-' -h c'"-' -r- . . . =- S,„,,

on obtient évidemment pour cette somme

S, ■mV