H-RS

ml.

D'un autre côté, l'on a vu (26 i) que Y, ou le polynôme dérivé du premier membre de la proposée, représente aussi la somme des m quotients de la division de X par :r — «, :c — ^-j a; — r, . . . ; or on a (262)

Y ^ ,„^-i ^[m-i)Vx'"-^-^{m - 2)Qx"-^-- (/» — 3)Rjr"-*-^...-f-T.

Donc, en comparant terme à terme ces deux e'spressions identiques de la somme des m quotients, on obtient les relations

S, H- wP =(m — i)P, ou, simplifiant, S, -^ P = o,

Sj -^ PS, -f- mQ = [m — a Q. ou bien S, -r- PS, -^ iQ = o,

S3-t-PS2-^QS.--wR = (/«-3)R, ou S3^ PS, + QS, -3R = o,

S^, - PS,„2 ^ QS„,3 --...-- wT = T, S,„. + PS„, - QS„3 -...-;- [m - i)T = o.

ou

La première formule dorxne d'abord la valeur de S, en fonction de P; la seconde donne ensuite S^ en fonction de P, Q et de S,, ainsi de suite; enfin la dernière fait connaître S„, au moyen de P, Q, R,..., T, et de S„,j, S„3,..., qui sont censés connus d'après les relations précédentes.

Pour étendre ces formules au cas d'une puissance entière et positive quelconque, reprenons l'équation proposée, et remplaçons x par chacune

APPLICATIOXS, 4^3

des racines a, è, c, <f, . . . . on a les égalités

«"'H-P«'"-'-f-Qrt'"-^-;-...H-Ta-f-U = o,

Multipliant toutes ces égalités respectivement par n", b", c",.... et ajoutant les produits terme à terme, on obtient, d'après les notations convenues,

S..n -^ PS..„, - QS„,„, - ... - TS„,. -^ US„ = o.

Cela posé, voici l'usage de cette formule : Soit

« = o ; d'où S„ = So = «, -f- ^'o -^ c„ -h . . . = w ;

elle devient

S„. + PS, -f- QS, --. . .-i- TS, + /«U = o;

cette dernière formule se lie immédiatement avec la dernière des formules obtenues ci -dessus.

Soit fait ensuite « = 1,2, 3, 4, 5,. . .; on trouve