S„«-PS„,,-QS„ -...--TS3 ...--TS
US3 = o, US3 = o,
Il est facile de reconnaître, d'après l'inspection de ces formules, que, les sommes des m premières puissances étant formées, les suivantes forment (184) une série récurrente dont l'échelle de relation est l'ensemble des m coefficients P, Q,R T, U de la proposée, pris en signes
contraires.
La formule S„^„ -1- PS„^„, -r- . . . — o peut donner également les sommes des puissances à indices entiers et négatifs. En effet, soit d'abord n = — I ; il en résulte
S„-.-PS„., -:-... -TS,-.-US. = o,
équation d'oii l'on peut tirer la valeur de S, en fonction de S^,,. S„2, . . . , S,, S„, qui sont censés connus.
Soient encore n = — 2, /? = — 3, ... ; on obtiendra de nouvelles formules qui donneront S j en fonction de S,„j, S„3, . . . , S,, S,; puis S j en fonction de S„,3, S„,^. , . . , S,, S j ; et ainsi de suite.
Concluons de là qu' u/ie équation quelconque étant dmnée, on peut Vujrmrs, sans connaître ses racines, obtenir les sommes de leurs puissances semblables, le degré' de la puissance étant un nombre entier quelcmque, positif ou négatif.
Soit, pour exemple, l'équation
on a, pour cette équation particulière,
ce qui donne
S, = - PS, - 2Q = 1 + i4 = i5,
S, -' -^ PS3 - QS, - 3T = - i5 - 7 -+- 3 = - .9,
S, = - PS3 - QS., - TS, — 4 U = 13 ^ io5 - I — -24 = 99,
S. = — PS^ — QS3 — TS^ — US, = — 99 — i33 -t- 1 5 -H 6 = — il I ,
Sg = — PS, — QS, - TS3 - US, = 21 1 4- 693 - i 9 - 90 :^ 795,
c - S, - rS, - QS - TS„ 19 - 1 j - 7 + 4 ^ ■ ^-'~ U 6 g'
c - s, - PS. - QS, - TS, ~ ^ ^ "^ ^ "^ ^^^ -^ 6 ^ 85 ^-2"" U G 3G'
Ces valeuis peuvent être aisément vérifiées ; car l'équation a été formée par la multiplication des facteurs or — i, x -h i, x — %, x -r- '^ : ce qui donne -h i , — i, h- 2 et — 3 pour les quatre racines.
Considérons maintenant d'autres espèces de fonctions symétriques.
293. On distingue les fonctions symétriques rationnelles et entières des racines d'une équation, en fonctions symétriques à une lettre, à deux lettres, à trois lettres, etc.
Les fonctions symétriques à une lettre sont celles dont chaque terme ne renferme qu'une racine; telle est la fonction o"-i- i"H- c"-(-. . . , que nous savons déjà (292) exprimer au moyen des coefficients de l'équation.
Les fonctions à deux lettres sont celles dont chaque terme renferme deux racines: telle est la fonction a"b'' -h a"c''-\- b"a''-t- a"d''-i-. . ., dont il est aisé de concevoir la formation en prenant tous les arrangements deux à deux des m racines, et en affectant les deux lettres de chaque
ÉVALUATION d'l>"E FONCTION' SYMÉTRIQUE QUELCONQUE. 4^5
produit des exposants respectifs n Qi p\ d'où il suit que le nombre total des termes de cette fonction est (146) égal à /«(/« — i).
Les fonctions à trois lettres sont celles dont chaque terme renferme trois racines : telle est la fonction ^^^''c'-f- cfc^d''^ b"a''c'> -t- . . . , que l'on obtient en formant tous les arrangements trois à trois des m racines, et affectant les trois lettres de chaque produit des exposants respectifs /?, /?, q. Ainsi le nombre total des termes est marqué par m' m — i) (w — 2) ; et ainsi de suite.
Comme, un terme quelconque d'une fonction symétrique à plusieurs lettres étant écrit, on peut obtenir tous les autres, en substituant à l'arrangement des lettres qui entrent dans ce terme les autres arrangements dont les m lettres sont susceptibles, et en conservant aux exposants le même ordre, on est convenu, pour abréger, de représenter les fonctions aune, deux, trois,... lettres, de cette manière : Ta", Ta"!)'', Ta"b''c''....; c'e;t-à-dire que l'on place en avant de l'un des termes de la fonction la lettre T; et ces notations équivalent à
a"-r- b-'^c"-^.. ., a"bP—a''cP — ..., a"b''c'> ~- a" b^d"- ^
Les fonctions dont nous venons de parler sont dites \gs fonctions symétriques élémentaires.
On peut concevoir ensuite que tous les termes d'une même fonction soient affectés de coefiBcients; mais, pour que la fonction soit symétrique, il faut que tous ces coefficients soient égaux, et alors on peut mettre ce coefficient en facteur commun.
C'est ainsi que l'expression ^a^h--v- ^a^c--^ 4^'«" — • • -, supposée symétrique en <7, é, c, . . . , peut se mettre sous la forme
4(r/^Z'-— «'c--r- ^^r-^...), ou i^Ta^P.
Enfin, un polynôme symétrique en a, b, c,. . . peut être composé de la réunion par addition ou par soustraction, [de plusieurs fonctions symétrques élémentaires ; et son évaluation se réduit alors à celle de chacune des fonctions élémentaires qui la composent. Passons donc à la détermination de celles-ci.
Evaluation des fonctions symétriques à deux, trois.... lettres.
294. On a déjà donné (292) des formules pour évaluer les fonctions telles que Ta", qui n'est autre chose que S„. Cherchons à évaluer la fonction à deux lettres TcfbP. Pour cela, multiplions entre elles les deux expressions
cj"-T- (f-^<f-^d''-^...=^ T«",
a' ^bf-i-cP-^dP-^...^ Ta"
4o6 CnAPITRE VII.
Le second membre est
Quant au premier membre, il peut arriver deux cas dans la multiplication : ou les deux termes du multiplicande et du multiplicateur ont la mêm? lettre; et, dans ce cas, le produit partiel est un des termes de la fonction T(f-^''; ou bien ces deux termes ont des lettres différentes, auquel cas le produit partiel est un terme de la fonction Ttfh''. Comme, d'ailleurs, le produit total doit être symétrique, puisque les deux facteurs le sont, il s'ensuit que le premier membre a pour expression
1u"^''^'ïa"b''.
Ainsi l'on a l'équation
Trt"-p^ Tc^hP^ Te/" x T^P; d'où l'on déduit
(i) T«" bP =-- Ta" X TaP — Td'^P.
Trt", TaP, Td'^p étant connus, d'après les formules du ii° £92. la formule (i) pourra servir à déterminer toutes les fonctions à deux lettres.
Cas particuliers. — Si, dars cette formule, on suppose n = />, circonstance qui arrive assez souvent, le second membre se réduit à [Tfff — T«^". Pour savoir ce que devient le premier (qui, en apparence, se réduit à Tcfb"), il faut observer que l'on a
Ta^bP^ a"bP-^ cfcP-:- c^dP — ...-- b"aP ^ .. .-r- c''aP -~ . . . .
Or, dans l'hj^othèse de n = p, tous les termes de ce polynôme deviennent égaux deux à deux, savoir, cf'bP et b"aP, o"cp et (faP, . . ; donc TffbP se réduit réellement à ■i.Ta"b'\ c'est-à-dire au double de la fonction exprimée par Ta"b", et dont le nombre des termes n'est plus (293) le nombre des arrangements, mais le nombre des combinaisons deux à deux.
Donc, en supposant n ~ p dans la formule (i), on trouve
Tâchons maintenant d'évaluer la fonction Ta"bPc''. Pour y parvenir, multiplions entre elles les équations
(^ b" -^ a" <:P -\- a"dP-^'...'^ b"aP-^.. .^ rV/^'-f-. . . = Ta^bP, al ^ b'' ^ cl -r- d'' -r- . . . ^ Ta'.
On a d'abord Ta"bP : - T/?' pour le produit des seconds membres.
ÉVALUATION d'uNE FONCTION SYMÉTRIQUE QUELCONQUE. 4^7
Quant aux premiers membres, on doit obtenir trois espèces de fonctions symétriques pour le produit total ; car
Ou bien la lettre du terme multiplicateur est semblable à la lettre du terme multiplicande, affectée de l'exposant n : auquel cas le produit partiel est un des termes de la fonction Trt"+'Z)'' ;
Ou bien la lettre du terme multiplicateur est semblable à la lettre du terme multiplicande, affectée de l'exposant p : et, dans ce cas, le produit partiel appartient à la fonction Ta"b''-^'';
Ou bien, enfin, elle est différente des deux lettres qui entrent dans le terme multiplicande : et alors le produit partiel est un des termes de la fonction Tri"b''c''.
Donc le produit total des deux premiers membres a pour expression
T«"+9^)P-4- Ta"b<'+'>^'Ta"b''ci.
Ainsi l'on a pour nouvelle équation
Tn"^''b''-h Ta"bP+''^ Ta"bPc'' = Ta"b''>< !«';
d'où l'on déduit
( 3 ) Ta"bPc''^Ta"bP><Ta'' — Ta"+''b''-Ta"b"+''.
Cas particuliers. — i° Supposons deux des trois exposants égaux, p = q par exemple; le premier membre se réduit à 'jlT a" b'' c^ , puisque tous les termes de la fonction générale Ta"b''c'' sont alors égaux deux à deux, et la formule ( 3 ) devient
, Ta^b" X TfiP—Ta"+PbP— Ta"b'P
(4) Ta"bPcP^ ; -•
Cette nouvelle formule servira pour toutes les fonctions à trois lettres dont deux exposants sont égaux.
i" Supposons les trois exposants égaux, c'est-à-dire n ~ p == f/;\e premier membre de la formule (3) se réduit à QTa"b"c", parce que tous les termes (145) deviennent égaux six à six.
Ainsi cette formule devient
^ , Ta"b"xT a" — 9. T a^" b"
(5) Trt"è"6«= ^
On parviendrait à ce même résultat, d'après la formule (4), en observant que n ^ p donne
Td'bPci'^ 'iln''b"(f,
parce que tous les termes de Ta"bPcP deviennent égaux trois à trais.
4o8 CDAPITRE VII.
Pour peu qu'on rédéchisse sur la marche qui vient d'ôlrc suivie pour (î'valucr Ta"b'', Ta"bPc'>, il est îii.-é de voir ce qu'il faudrait faire pour l'évaluation des fonctions à qiKttre lettres, à cinq lettres, etc.
295. Comme nous avons remarqué (293) que toute fonction symétrique rationnelle et entière des racines d'une équation n'est que le résultat de la réunion, par addition ou soustraction, des fonctions Tn", To"^'',
Ta"b''c'', nous sommes en droit de conclure ce théorème, qui est un
des plus beaux et des plus importants de l'Analyse algébrique : Toute fonction symétrique, rationnelle et entière des racines d'une équation peut, sans que l'on connaisse ses racines, être évaluée au moyen des coeffuients de V équation.
N. B. — Il en est de môme d'une fonction symétrique rationnelle et fractionnaire; car, si l'on conçoit que tous les termes soient réduits au même dénominateur, on aura une seule expression fractionnaire dont le numérateur devra, d'après le caractère distinctif d'une fonction symétrique (291), être, ainsi que le dénominateur, une fonction symétrique rationnelle et entière. Donc, en évaluant chacune de ces fonctions séparément, on obtiendra la valeur de la fonction proposée.
Applications de la théorie des fonctions symétriques.
296. La théorie des fonctions symétriques donne les moyens de résoudre cette question, que nous avons déjà traitée (272) par le secours de l'élimination :
Une équation dont on ne connaît pas les racines étant donnée, former une nouvelle équation qui ait pour racine une combinaison déterminée de deux, trois, . . . quelconques des racines de la proposée.
Pour fixer les idées, supposons d'abord que l'on demande
Une équation dont les racines soient la somme de deux quelconques des racines de l'équation X = o.
Soient <?, b, c, d,. .. les racines de cette équation ; celles de la nouvelle équation, que nous appellerons Z = o, seront
et leur nombre sera exprimé par le nombre de sommes ou de combinaisons différentes, deux à deux, que l'on peut faire avec les m lettres a, b,
r, r/, . . . , c est-a-dire (U7) par — — ^ -
Ainsi, 1 représente déjà le degré de 1 équation.
Quant à la composition de ses coefficients, comme (2i2) le coefficient
